中学2年の数学で学習する「連立方程式」
前回の記事では「連立方程式・基本の文章題の解き方」について解説しました。
今回は苦手にしている中学生が非常に多い「連立方程式・速さの文章題」の解き方についての解説記事です。
この記事では↓のポイントについて解説しています。
この記事を読んで、連立方程式・速さの文章題を解くコツを、しっかり覚えましょう！
①「連立方程式・速さの文章題」を表を使って解く
↓の例題を使って、連立方程式・速さの文章題を解く手順について解説していきたいと思います。
【例題】
A地からB地まで16㎞あります。
A地から途中のP地まで時速5㎞、P地からB地まで時速3㎞の速さで歩いたら4時間かかりました。
A地からP地までの距離・P地からB地までの距離を求めましょう。
方程式の文章題を解くときに、一番はじめにすることは何か覚えていますか？
:
そう、求めたい値を文字で表すことです。
この問題において、求めたい値は
① A地～P地までの距離
② P地～B地までの距離
ですので、A～P間の距離をｘ㎞、P～B間の距離をｙ㎞と表します。
次に、↓に用意した表を埋めていくことを通して、答えを求めていきます。
この表の空欄の中で、わかっているところは、
① 合計の距離
⇒ 問題文より16㎞
② A～P間・P～B間の速さ
⇒ 問題文より時速5㎞と時速3㎞
③ 合計の時間
⇒ 問題文より4時間
さらに、A～P間・P～B間の距離をx㎞とy㎞と文字で置いたので、
↑のように表の空欄を埋めることができます。
それでは残った空欄の、A～P間とP～B間の時間について考えてみましょう。
時間を求めるにはどうすればよいか覚えていますか？
:
そう、
時間＝距離÷速さ
でしたね！
よって、A～P間とP～B間の時間はそれぞれ、
・A～P間の時間
・P～B間の時間
したがって、表は↓のように全て埋めることができます。
では、すべての欄をうめた表をもとに、連立方程式をつくってみましょう。
↑の表にかいてある通り、距離と時間の2つの式をつくることができます。
よって、以下のように連立方程式をつくることができます。
今回は、加減法を使って計算していきたいと思います。
②の式が分数なので、両辺に分母の5と3の最小公倍数である”15”をかけます。
3ｘ＋5ｙ＝60…②’
①と②’のｘの係数を合わせるために、①の式の両辺に”3”をかけます。
3ｘ＋3ｙ＝48…①’
つづいて、①’と②’をひき算します。
−2ｙ＝－12
両辺を－2で割ると
ｙ＝6
ｙ＝6を➀に代入
ｘ＋6＝16
ｘ＝16－6
ｘ＝10
よって答えは、
・A～P間の距離は10㎞
・P～B間の距離は6㎞
どうでしたか？「連立方程式・速さの文章題」を解く手順は理解できましたか？
大まかな流れとしては、
① 求めたい値を文字ｘ、ｙで表す
② 距離・速さ・時間の表をつくり、わかるところから埋めていく
③ 距離・速さ・時間のいずれかで、等しい関係が成り立っている
④ 表から等しい関係を2つ探し出し、連立方程式をつくる
⑤ つくった連立方程式を解き、答えを求める
※YouTubeに「連立方程式・速さの文章題」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
②「連立方程式・速さの文章題」の練習問題
ここでは、先ほど解説した「連立方程式・速さの文章題」を解く手順を使って、練習問題を解いていきたいと思います。
↓の問題を一緒に解いていきましょう！
【問題】
A地からB地まで14㎞あります。
A地から途中のP地まで時速2㎞、P地からB地まで時速6㎞の速さで歩いたら3時間かかりました。
A地からP地まで行くのにかかった時間・P地からB地まで行くのにかかった時間を求めましょう。
まずはじめに、問題文で尋ねられている値である
・A～P間の時間
・P～B間の時間
をそれぞれｘ時間とｙ時間とおきます。
つづいて、距離・速さ・時間の表をつくってみましょう。
この表の空欄の中で、わかっているところは、
① 合計の距離
⇒ 問題文より14㎞
② A～P間・P～B間の速さ
⇒ 問題文より時速2㎞と時速6㎞
③ 合計の時間
⇒ 問題文より3時間
さらに、A～P間・P～B間の時間をx時間とy時間と文字で置いたので、
↑のように表の空欄を埋めることができます。
それでは残っている空欄、A～P間とP～B間の距離について考えましょう。
距離を求める計算のやり方を覚えていますか？
:
そう、
距離＝速さ×時間
でした！
よって、A～P間とP～B間の距離はそれぞれ、
・A～P間の距離
2(㎞/時)×ｘ(時間)=2ｘ(㎞)
・P～B間の距離
6(㎞/時)×ｙ(時間)=6ｙ(㎞)
したがって、表は↓のように全て埋めることができますね。
では、すべての欄をうめた表をもとに、連立方程式をつくってみましょう。
↑の表にかいてある通り、距離と時間の2つの式をつくることができます。
① 2ｘ(㎞)＋6ｙ(㎞)＝14(㎞)
② ｘ(時間)＋ｙ(時間)＝3(時間)
ここから、以下のように連立方程式をつくることができますね。
2ｘ＋6ｙ＝14…①
ｘ＋ｙ＝3…②
あとは、加減法を使って↑の連立方程式を解いてきます！
ｘの係数を合わせるために②を2倍すると、
・2ｘ＋2ｙ＝6…②’
次に①と②’をひき算します。
4ｙ＝8
両辺を4で割ると、
ｙ＝2
ｙ＝2を②に代入
ｘ＋2＝3
ｘ＝3－2
ｘ＝1
よって答えは、
・A～P間の時間は1時間
・P～B間の時間は2時間
記事のまとめ
今回の記事のポイントをまとめると…
連立方程式・速さの文章題を解く手順
➀ 求めたい値を文字(ｘとｙ)で表す
↓
② 距離・速さ・時間の表を作成して、空欄を埋めていく
↓
➂ 距離・速さ・時間の表の中で、等しい関係を2つ見つける
↓
④ ③の等しい関係をもとに、連立方程式をつくる
↓
⑤ ④の連立方程式を解いて、答えを求める
今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。
これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。
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