前回の「加法の交換法則・結合法則」と説明が被るところも、いくつかあります。
しかし、復習にもなると思うので、再度説明したいと思います。
何卒、ご了承ください。
この記事で解説する内容は、以下の通りです。
①加法と減法が混じった式の解き方
加法と減法の混じった式の計算のやり方について、下の式を例に説明していきたいと思います。
(＋4)＋(－2)－(＋5)－(－9)
(ⅰ)加法だけの式になおす
まず例に挙げた式を、加法だけの式になおしましょう。
「正の数をひく」ことは「負の数をたす」ことと同じでした。
よって、－(＋5)は＋(－5)になります。
同様に「負の数をひく」ことは「正の数をたす」ことと同じでした。
よって、－(－9)は＋(＋9)になります。
したがって、計算は次の通りになります。
(＋4)＋(－2)－(＋5)－(－9)
=(＋4)＋(－2)＋(－5)＋(＋9)
(ⅱ)正の数の和・負の数の和をそれぞれ計算する
次に、上の式を正の数と負の数にそれぞれまとめます。
具体的には、前回の記事で説明した「加法の交換法則」を使って数を入れ替えます。
(＋4)＋(－2)＋(－5)＋(＋9)
=(＋4)＋(＋9)＋(－2)＋(－5)
そして、「加法の結合法則」を使って、正の数の和・負の数の和をそれぞれ計算します。
(＋4)＋(＋9)＋(－2)＋(－5)
=(＋13)＋(－7)
=＋6
※以上見てきたように、加法と減法の混じった計算は、
①加法だけの式になおす
②正の数の和・負の数の和をそれぞれ計算して答えを求める
という手順で解いていきます。
②「項」とは何か？
先ほどの式を計算する途中で、すべて加法になおしました。
すべて加法になおしたときの式を、下に挙げてみます。
(＋4)＋(－2)＋(－5)＋(＋9)
このような加法のみの式で、＋(たす)の記号で結ばれているそれぞれの数、＋4、－2、－5、＋9を「項」といいます。
さらに、＋4、＋9のような正の数の項を「正の項」、－2、－5のような負の数の項を「負の項」といいます。
説明だけでは分かりにくいと思いますので、「項」のイメージをつかむために、2問ほど練習をしてみましょう。
① (＋4)－(＋2)－(－8)＋(－1)
② (－2)＋(＋8)－(＋3)－(－2)
それでは、上の➀と②の項を求めてみましょう。
まず、➀の式をすべて加法になおします。
(＋4)－(＋2)－(－8)＋(－1)
=(＋4)＋(－2)＋(＋8)＋(－1)
＋(たす)の記号で結ばれているそれぞれの数が「項」になりますので、＋4、－2、＋8、－1が項になります。
さらに＋4、＋8が「正の項」、－2、－1が「負の項」になります。
次に、②の式もすべて加法になおします。
(－2)＋(＋8)－(＋3)－(－2)
=(－2)＋(＋8)＋(－3)＋(＋2)
＋(たす)の記号で結ばれているそれぞれの数が「項」になりますので、－2、＋8、－3、＋2が項になります。
さらに＋8、＋2が「正の項」、－2、－3が「負の項」になります。
③「項」だけで式を表す
加法だけの式を、＋(たす)の記号と項についている( )を省略して、項だけで式を表すことができます。
ことばだけでは分かりにくいので、例を挙げてみます。
(＋4)＋(－2)＋(－5)＋(＋9) …➀
=4－2－5＋9 …②
➀の式は、項が＋(たす)の記号で結ばれている加法の式です。
そして、①の式から、＋(たす)の記号と項についている( )を省略した式が、②の式になります。
なお、式のはじめの項が正の数のときは、正の符号＋を省略して表します。
ですので、式の先頭の＋4は4と表しています。
それでは、②の式からの計算のやり方を見ていきましょう。
正の数の和・負の数の和を求めるために、正の数と負の数をそれぞれまとめる必要がありました。
「加法の交換法則」を使って、数を入れ替えると次のようになります。
4－2－5＋9 …②
=4＋9－2－5 …➂
さらに正の数の和・負の数の和をそれぞれ求めます。
4＋9は(＋4)＋(＋9)なので、＋13。
－2－5は(－2)＋(－5)なので、－7。
よって、➂の式は次のようになります。
4＋9－2－5 …➂
=13－7 …④
13－7は(＋13)＋(－7)なので、＋6。
④の式を計算すると、答えは次の通りになります。
13－7=＋6 （6でも可）
ちなみに、計算結果が正の数のときは、正の符号＋を省いてもよいので、6と答えてもよいです。
項だけで表した式は、＋(たす)の記号と項についている( )を省略しているため、計算がやりづらいと思います。
そこで、項だけの式に慣れるまで、項をまるで囲んで、項どうしのたし算であることを意識して計算するとよいでしょう。
やり方は下の図を参考にしてみて下さい。
ちなみに色の違いは、赤のまるが正の項、青のまるが負の項を表しています。
④「項」だけで表した式の練習問題
練習問題を3問用意しましたので、項だけで表した式の計算を練習してみましょう！
① 4－7
② 5－8＋1
③ 1－3＋5－8
それでは➀から見ていきましょう。
4－7は(＋4)＋(－7)なので、答えは－3になります。
②は、まず最初に正の数の和・負の数の和を求めるために数を入れ替えます。
5－8＋1
=5＋1－8
次に、5＋1は(＋5)＋(＋1)なので、＋6になります。
よって、
5＋1－8
=6－8
6－8は(＋6)＋(－8)なので、答えは－2になります。
項だけの式だとわかりにくい人は、下の図も参考にしてください。
➂も、まず最初に正の数の和・負の数の和を求めるために数を入れ替えます。
1－3＋5－8
=1＋5－3－8
1＋5は(＋1)＋(＋5)なので、＋6になります。
また－3－8は(－3)＋(－8)なので、－11になります。
よって
1＋5－3－8
=6－11
6－11は(＋6)＋(－11)なので、答えは－5になります。
項だけの式だとわかりにくい人は、下の図も参考にしてください。
⑤加減の混じった計算の解き方
加法と減法の混じった計算の発展形として、次のような計算式もあります。
－10－(－5)＋(－7)＋3 …➀
このような式を加減の混じった計算といいます。
では、どのように解けばよいのか見ていきましょう。
まず－10と＋3の部分は、すでに項だけで表す形になっています。
よって、そのままでOKです。
次に＋(－7)は、＋(たす)の記号と( )を省略して－7にします。
さらに－(－5)は減法なので加法になおして、＋(＋5)にします。
－10－(－5)＋(－7)＋3 …➀
=－10＋(＋5)－7＋3 …②
②の式において、＋(＋5)を＋(たす)の記号と( )を省略して＋5にします。
－10＋(＋5)－7＋3 …②
=－10＋5－7＋3 …➂
③の式で、正の数の和と負の数の和を求めるために、数を入れ替えます。
－10＋5－7＋3 …➂
=5＋3－10－7 …④
④の式において、5＋3は(＋5)＋(＋3)なので、＋8。
また、－10－7は(－10)＋(－7)なので、－17。
よって、
5＋3－10－7 …④
=8－17 …⑤
⑤の式で、8－17は(＋8)＋(－17)なので、答えは－9。
◎以上見てきたように、加減の混じった計算を解く手順は以下の通りです。
①項だけで表している部分はそのままにする。
↓
②加法の部分は、＋(たす)の記号と( )を省略する。
↓
③減法の部分は、まず加法になおしてから＋(たす)の記号と( )を省略する。
↓
④正の数の和と負の数の和を求めるために、数を入れ替える。
↓
⑤正の数の和と負の数の和をそれぞれ求めて、答えを出す。
⑥加減の混じった計算の練習問題
練習問題を2問用意しましたので、加減の混じった計算の練習をしてみましょう！
① (＋5)－4＋(－9)
② －8＋3－(－10)＋(－2)
まず➀の問題から見ていくと、－4の部分は、すでに項だけで表す形になっています。
よって、そのままでOKです。
(＋5)は、( )を省略して、さらに式の先頭なので正の符号＋も省略して5にします。
さらに＋(－9)は、＋(たす)の記号と( )を省略して－9にします。
(＋5)－4＋(－9)
=5－4－9
上の式において、－4－9は(－4)＋(－9)なので、－13。
よって、
5－4－9
=5－13
5－13は(＋5)＋(－13)なので、➀の答えは－8。
次に②の問題です。
－8と＋3の部分は、すでに項だけで表す形になっています。
よって、そのままでOKです。
＋(－2)は、＋(たす)の記号と( )を省略して、－2にします。
さらに、－(－10)は減法なので加法になおして、＋(＋10)にします。
－8＋3－(－10)＋(－2)
=－8＋3＋(＋10)－2
上の式において、＋(＋10)は＋(たす)の記号と( )を省略して、＋10にします。
－8＋3＋(＋10)－2
=－8＋3＋10－2
上の式で、正の数の和・負の数の和を求めるため、数を入れ替えます。
－8＋3＋10－2
=3＋10－8－2
3＋10は(＋3)＋(＋10)なので＋13になります。
また、－8－2は(－8)＋(－2)なので－10になります。
よって、
3＋10－8－2
=13－10
13－10は(＋13)＋(－10)なので、②の答えは3(または＋3)になります。
※YouTubeに「加法と減法の混じった計算」についての詳しい解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
記事のまとめ
今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。
これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。
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