中1数学「正の数・負の数」加法と減法の混じった計算

0~9までの数字がかかれたイラスト
 
今回は、中1数学「正の数・負の数」の「加法と減法の混じった計算」について、詳しく解説していきたいと思います。  
 

 前回の「加法の交換法則・結合法則」と説明が被るところも、いくつかあります。

 しかし、復習にもなると思うので、再度説明したいと思います。

 何卒、ご了承ください。

◎この記事で解説する内容は、以下の通りです。

加法と減法が混じった式の解き方

「項」とは何か?

「項」だけで式を表す

「項」だけで表した式の練習問題

加減の混じった計算の解き方

加減の混じった計算の練習問題

先生と元気いっぱいの子どもたち

加法と減法が混じった式の解き方

 加法と減法の混じった式の計算のやり方について、下の式を例に説明していきたいと思います。

 (+4)+(-2)-(+5)-(-9)

加法だけの式になおす

 まず例に挙げた式を、加法だけの式になおしましょう。

 「正の数をひく」ことは「負の数をたす」ことと同じでした。

 よって、-(+5)+(-5)になります。

 同様に「負の数をひく」ことは「正の数をたす」ことと同じでした。

 よって、-(-9)は+(+9)になります。

 したがって、計算は次の通りになります。

 (+4)+(-2)-(+5)-(-9) 

    =(+4)+(-2)+(-5)+(+9)

楽しそうに勉強する子どもたち

正の数の和・負の数の和をそれぞれ計算する

 次に、上の式を正の数と負の数にそれぞれまとめます

 具体的には、前回の記事で説明した加法の交換法則」を使って数を入れ替えます。

 (+4)+(-2)+(-5)+(+9)

   =(+4)+(+9)+(-2)+(-5)

 そして、加法の結合法則」を使って、正の数の和・負の数の和をそれぞれ計算します。

 (+4)+(+9)+(-2)+(-5)

   =(+13)+(-7)

   =+6

※以上見てきたように、加法と減法の混じった計算は、

加法だけの式になおす

正の数の和・負の数の和をそれぞれ計算して答えを求める

という手順で解いていきます。

計算問題に取り組んでいる男の子


「項」とは何か? 

 先ほどの式を計算する途中で、すべて加法になおしました。

 すべて加法になおしたときの式を、下に挙げてみます。

 (+4)+(-2)+(-5)+(+9)

 このような加法のみの式で、+(たす)の記号で結ばれているそれぞれの数、+4、-2、-5、+9を「項」といいます。

 さらに、+4、+9のような正の数の項を「正の項」-2、-5のような負の数の項を「負の項」といいます。

 説明だけでは分かりにくいと思いますので、「項」のイメージをつかむために、2問ほど練習をしてみましょう。

(+4)-(+2)-(-8)+(-1)

(-2)+(+8)-(+3)-(-2)

 それでは、上の➀と②の項を求めてみましょう。

 まず、➀の式をすべて加法になおします。

 (+4)-(+2)-(-8)+(-1)

 =(+4)+(-2)+(+8)+(-1)

 +(たす)の記号で結ばれているそれぞれの数が「項」になりますので、+4、-2、+8、-1が項になります。

 さらに+4、+8が「正の項」、-2、-1が「負の項」になります。

 次に、②の式もすべて加法になおします。

 (-2)+(+8)-(+3)-(-2)

  =(-2)+(+8)+(-3)+(+2)

 +(たす)の記号で結ばれているそれぞれの数が「項」になりますので、-2、+8、-3、+2が項になります。

 さらに+8、+2が「正の項」、-2、-3が「負の項」になります。

計算問題に取り組んでいる男の子


「項」だけで式を表す

 加法だけの式を、+(たす)の記号と項についている( )を省略して、項だけで式を表すことができます。

 ことばだけでは分かりにくいので、例を挙げてみます。

 (+4)+(-2)+(-5)+(+9) …➀

 =4-2-5+9 …②

 ➀の式は、項が+(たす)の記号で結ばれている加法の式です。

 そして、①の式から、+(たす)の記号と項についている( )を省略した式が、②の式になります。

 なお、式のはじめの項が正の数のときは、正の符号+を省略して表します

 ですので、式の先頭の+4は4と表しています。

 それでは、②の式からの計算のやり方を見ていきましょう。

 正の数の和・負の数の和を求めるために、正の数と負の数をそれぞれまとめる必要がありました。

 加法の交換法則」を使って、数を入れ替えると次のようになります。

 4-2-5+9 …②

 =4+9-2-5 …➂

 さらに正の数の和・負の数の和をそれぞれ求めます

 4+9(+4)+(+9)なので、+13

 -2-5(-2)+(-5)なので、-7

 よって、➂の式は次のようになります。

 4+9-2-5 …➂

 =13-7 …④

 13-7(+13)+(-7)なので、+6

 ④の式を計算すると、答えは次の通りになります。

 13-7=+6 (6でも可)

 ちなみに、計算結果が正の数のときは、正の符号+を省いてもよいので、6と答えてもよいです。

机に向かって、楽しそうに計算問題に取り組んでいる男の子

 項だけで表した式は、+(たす)の記号と項についている( )を省略しているため、計算がやりづらいと思います。

 そこで、項だけの式に慣れるまで、項をまるで囲んで、項どうしのたし算であることを意識して計算するとよいでしょう。

 やり方は下の図を参考にしてみて下さい。

 ちなみに色の違いは、赤のまるが正の項、青のまるが負の項を表しています。

  4-2-5+9=4+9-2-5=13-7=6


「項」だけで表した式の練習問題

 練習問題を3問用意しましたので、項だけで表した式の計算を練習してみましょう!

①、4-7

②、5-8+1

③、1-3+5-8

 それでは➀から見ていきましょう。

 4-7(+4)+(-7)なので、答えは-3になります。

 ②は、まず最初に正の数の和・負の数の和を求めるために数を入れ替えます。

 5-8+1

 =5+1-8

 次に、5+1(+5)+(+1)なので、+6になります。

 よって、

 5+1-8

 =6-8

 6-8(+6)+(-8)なので、答えは-2になります。

 項だけの式だとわかりにくい人は、下の図も参考にしてください。

  項だけ②

 ➂も、まず最初に正の数の和・負の数の和を求めるために数を入れ替えます。

 1-3+5-8

 =1+5-3-8

 1+5(+1)+(+5)なので、+6になります。

 また-3-8(-3)+(-8)なので、-11になります。

 よって

 1+5-3-8

 =6-11

 6-11(+6)+(-11)なので、答えは-5になります。

 項だけの式だとわかりにくい人は、下の図も参考にしてください。

  1-3+5-8=1+5-3-8=6-11=-5

机に向かって、楽しそうに計算問題に取り組んでいる女の子


 

加減の混じった計算の解き方

 加法と減法の混じった計算の発展形として、次のような計算式もあります。

 -10-(-5)+(-7)+3 …➀

 このような式を加減の混じった計算といいます。

 では、どのように解けばよいのか見ていきましょう。

 まず-10+3の部分は、すでに項だけで表す形になっています。

 よって、そのままでOKです。

 次に+(-7)は、+(たす)の記号と( )を省略して-7にします。

 さらに-(-5)減法なので加法になおして、+(+5)にします。

 -10-(-5)+(-7)+3 …➀

 =-10+(+5)-7+3 …②

 ②の式において、+(+5)を+(たす)の記号と( )を省略して+5にします。

 -10+(+5)-7+3 …②

 =-10+5-7+3 …➂

 ③の式で、正の数の和と負の数の和を求めるために、数を入れ替えます。

 -10+5-7+3 …➂

 =5+3-10-7 …④

 ④の式において、5+3(+5)+(+3)なので、+8。

 また、-10-7(-10)+(-7)なので、-17。

 よって、

 5+3-10-7 …④

 =8-17 …⑤

 ⑤の式で、8-17(+8)+(-17)なので、答えは-9。

◎以上見てきたように、加減の混じった計算を解く手順は以下の通りです。

項だけで表している部分はそのままにする。

  ↓

加法の部分は、+(たす)の記号と( )を省略する。

  ↓

減法の部分は、まず加法になおしてから+(たす)の記号と( )を省略する。

  ↓

正の数の和と負の数の和を求めるために、数を入れ替える

  ↓

⑤正の数の和と負の数の和をそれぞれ求めて、答えを出す。

机に向かって、勉強に取り組む男の子


加減の混じった計算の練習問題

 練習問題を2問用意しましたので、加減の混じった計算の練習をしてみましょう!

①、(+5)-4+(-9)

②、-8+3-(-10)+(-2)

 まず➀の問題から見ていくと、-4の部分は、すでに項だけで表す形になっています。

 よって、そのままでOKです。

 (+5)は、( )を省略して、さらに式の先頭なので正の符号+も省略して5にします。

 さらに+(-9)は、+(たす)の記号と( )を省略して-9にします。

 (+5)-4+(-9)

 =5-4-9

 上の式において、-4-9(-4)+(-9)なので、-13。

 よって、

 5-4-9  

  =5-13

 5-13(+5)+(-13)なので、➀の答えは-8。

机に向かって、勉強に取り組んでいる女の子

 次に②の問題です。

 -8+3の部分は、すでに項だけで表す形になっています。

 よって、そのままでOKです。

 +(-2)は、+(たす)の記号と( )を省略して、-2にします。

 さらに、-(-10)減法なので加法になおして、+(+10)にします。

 -8+3-(-10)+(-2)

 =-8+3+(+10)-2

 上の式において、+(+10)+(たす)の記号と( )を省略して、+10にします。

 -8+3+(+10)-2  

  =-8+3+10-2

 上の式で、正の数の和・負の数の和を求めるため、数を入れ替えます。

 -8+3+10-2

  =3+10-8-2

 3+10(+3)+(+10)なので+13になります。

 また、-8-2(-8)+(-2)なので-10になります。

 よって、

 3+10-8-2

 =13-10

 13-10(+13)+(-10)なので、②の答えは3(または+3)になります。

※下のYouTubeにアップした動画でも、「加法と減法の混じった計算」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧ください!


記事のまとめ

 以上、中1数学「正の数・負の数」で学習する「加法と減法の混じった計算」について、詳しく説明してきましたがいかがだったでしょうか?
 
 
◎今回の記事のポイントをまとめると…
 
・加法と減法が混じった式は、まずすべて加法になおす
 
・すべて加法になおした後は、正の数の和・負の数の和をそれぞれ求める
 
・加法だけの式は、+(たす)の記号と( )を省略して項だけで式を表すことができる
 
・項だけで表された式に慣れるまで、それぞれの項をまるで囲んで計算するとよい
 
・加減の混じった式では、項だけで表された部分はそのままにする
 
加減の混じった式では、加法の部分は+(たす)の記号と( )を省略して項だけ表す
 
加減の混じった式では、減法は加法になおす

 今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。

 これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。

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先生と元気いっぱいの子どもたち

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