色々な視点から、5通りの説明方法を紹介したいと思いますので、ご自分の納得できる説明を見つけて下さい。
この記事で紹介する説明は、以下の5つです。
➀「速さ・時間・道のり」を利用した説明
上の図のように、人がいて移動しているとします。
まず現在地を0とします。
そして東へ1㎞を＋1とすると、東へ2㎞が＋2、東へ3㎞が＋3になります。
同様に、西へ1㎞が－1、西へ2㎞が－2、西へ3㎞が－3になります。
時間も距離と同じように、現在を0として、1時間後を＋1とします。
すると、2時間後が＋2、3時間後が＋3になります。
同様に、1時間前が－1、2時間前が－2、3時間前が－3になります。
さらに速さについても、西から東へ時速1㎞の速さで進むことを＋1とします。
すると、東から西へ時速1㎞の速さで進むことは－1になります。
以上のことを前提として、「西から東へ移動する場合」と「東から西へ移動する場合」について考えてみましょう。
(ⅰ)西から東へ移動する場合
まず、西から東へ時速1㎞の速さ(つまり＋1)で移動している場合を考えてみます。
「プラス×プラス=プラス」の説明
西から東へ時速1㎞の速さで移動した場合、1時間後(つまり＋1)には東へ1㎞の地点(つまり＋1)にいます。
「速さ×時間=道のり」を使って計算してみると、1時間後の位置は、速さが＋1、時間も＋1なので、
(＋1)×(＋1)=＋1
となり、東へ1㎞の地点に移動していることがわかります。
同様に、2時間後には東へ2㎞の地点、3時間後には東へ3㎞の地点にいます。
2時間後・3時間後の位置を計算してみると、
(＋1)×(＋2)=＋2
(＋1)×(＋3)=＋3
となり、それぞれ東へ2㎞の地点・東へ3㎞の地点に移動していることがわかります。
以上のことから「プラス×プラス=プラス」であることが確認できました。
「プラス×マイナス=マイナス」の説明
次に西から東へ時速1㎞の速さで移動した場合、1時間前はどの地点にいるか考えてみます。
現在地が0なので、1時間前は西に1㎞の地点(つまり－1)にいたことになります。
「速さ×時間=道のり」を使って計算してみると、1時間前(つまり－1)の位置は、速さが＋1、時間は－1なので、
(＋1)×(－1)=－1
となり、西へ1㎞の地点にいたことがわかります。
同様に、2時間前には西へ2㎞の地点、3時間前には西へ3㎞の地点にいます。
2時間前・3時間前の位置を計算してみると、
(＋1)×(－2)=－2
(＋1)×(－3)=－3
となり、それぞれ西へ2㎞の地点・西へ3㎞の地点にいたことがわかります。
以上のことから「プラス×マイナス=マイナス」であることが確認できました。
(ⅱ)東から西へ移動する場合
今度は、東から西へ時速1㎞の速さ(つまり－1)で移動している場合を考えてみます。
「マイナス×プラス=マイナス」の説明
東から西へ時速1㎞の速さで移動した場合、1時間後(つまり＋1)には西へ1㎞の地点(つまり－1)にいます。
「速さ×時間=道のり」を使って計算してみると、1時間後の位置は、速さが－1、時間は＋1なので、
(－1)×(＋1)=－1
となり、西へ1㎞の地点に移動していることがわかります。
同様に、2時間後には西へ2㎞の地点、3時間後には西へ3㎞の地点にいます。
2時間後・3時間後の位置を計算してみると、
(－1)×(＋2)=－2
(－1)×(＋3)=－3
となり、それぞれ西へ2㎞の地点・西へ3㎞の地点に移動していることがわかります。
以上のことから「マイナス×プラス=マイナス」であることが確認できました。
「マイナス×マイナス=プラス」の説明
さらに東から西へ時速1㎞の速さで移動した場合、1時間前はどの地点にいるか考えてみます。
現在地が0なので、1時間前は東に1㎞の地点(つまり＋1)にいたことになります。
「速さ×時間=道のり」を使って計算してみると、1時間前(つまり－1)の位置は、速さは－1、時間も－1なので、
(－1)×(－1)=＋1
となり、東へ1㎞の地点にいたことがわかります。
同様に、2時間前には東へ2㎞の地点、3時間前には東へ3㎞の地点にいます。
2時間前・3時間前の位置を計算してみると、
(－1)×(－2)=＋2
(－1)×(－3)=＋3
となり、それぞれ東へ2㎞の地点・東へ3㎞の地点にいたことがわかります。
以上のことから「マイナス×マイナス=プラス」であることが確認できました。
②かけ算の意味にもとづいた説明
ここでは、かけ算の意味をもとにした、マイナス×マイナスがプラスになる理由の説明を紹介したいと思います。
(ⅰ) まずはじめに、「2×3」について考えてみます。
2×3=(＋2)×(＋3)
上の式が表しているのは、「＋2を＋3回たす」ということなので、
2×3=(＋2)×(＋3)
=(＋2)＋(＋2)＋(＋2)
=＋6
このことから「プラス×プラス=プラス」になることが確認できます。
(ⅱ) 次に「－2×3」について考えてみます。
－2×3=(－2)×(＋3)
上の式が表しているのは、「－2を＋3回たす」ということなので、
－2×3
=(－2)×(＋3)
=(－2)＋(－2)＋(－2)
=－6
このことから「マイナス×プラス=マイナス」になることが確認できます。
(ⅲ) さらに「2×(－3)」について考えてみます。
2×(－3)=(＋2)×(－3)
上の式が表しているのは、「＋2を－3回たす」ということです。
「－3回たす」の意味はちょっとわかりにくいですよね。
そこで、－3を＋3に変えて、内容を変えずに表現したらどうなるか考えてみましょう。
すると「－3回たす」は「＋3回ひく」ことと同じであることがわかります。
よって、
2×(－3)
=(＋2)×(－3)
=－(＋2)－(＋2)－(＋2)
=＋(－2)＋(－2)＋(－2)
=－6
このことから「プラス×マイナス=マイナス」になることが確認できます。
(ⅳ) 最後に「(－2)×(－3)」について考えてみましょう。
(－2)×(－3)が表しているのは、「－2を－3回たす」ということです。
先ほどと同様「－3回たす」の意味がわかりにくいので、「＋3回ひく」と考えると、
(－2)×(－3)
=－(－2)－(－2)－(－2)
=＋(＋2)＋(＋2)＋(＋2)
=＋6
このことから「マイナス×マイナス=プラス」になることが確認できます。
➂かける数をどんどん小さくしていった場合の説明
次のように、かける数をどんどん小さくしていくと、答えはどうなるでしょう？
1×5=5
1×4=4
1×3=3
1×2=2
1×1=1
1×0=0
1×(－1)=□
1×(－2)=□
かける数を1小さくするごとに、答えの数も1ずつ小さくなっているのがわかります。
1×0=0ということは、その１行下の1×(－1)の答えはどうなるでしょう？
答えは上の行より１ずつ小さくなっているので、0より１小さい－1になります。
さらに、それより1行下の1×(－2)の答えは－1より1小さい－2になることがわかります。
これより、「プラス×マイナス=マイナス」ということがわかります。
また、かけ算は交換法則が成り立ちましたよね。
よって、プラスとマイナスを入れ替えても計算結果が同じになります。
つまり「プラス×マイナス=マイナス」ならば、「マイナス×プラス=マイナス」ということになります。
今度は、負の数(－1)にかける数をどんどん小さくしていくと、答えはどうなるでしょう？
－1×5=－5
－1×4=－4
－1×3=－3
－1×2=－2
－1×1=－1
－1×0=0
－1×(－1)=□
－1×(－2)=□
今度はかける数を1小さくするごとに、答えの数が1ずつ大きくなっているのがわかります。
1×0=0なので、その１行下の－1×(－1)の答えは、0より１大きい＋1になります。
さらに、それより1行下の－1×(－2)の答えは＋1より1大きい＋2になることがわかります。
これより、「マイナス×マイナス=プラス」ということがわかります。
④分配法則を使った説明
分配法則をご存知でしょうか？
下のような計算のルールのことです。
□×(〇＋△)=□×〇＋□×△
5×(6＋8)という計算をする場合を例に、考えてみましょう。
先にカッコ内の計算（6＋8）をして、5をかけるのが普通のやり方です。
しかし、分配法則を使うと、次のように計算することもできます。
5×(6＋8)
=5×6＋5×8
=30＋40
=70
ここからは、この分配法則を使って「マイナス×マイナス=プラス」になる理由を説明していきたいと思います。
まず、次の計算式をご覧ください。
(－1)×(1－1)=0
カッコ内の計算(1－1)の結果が0になるので、上の式の答えが0になることはわかると思います。
それでは、この式の左側を分配法則を使って計算していくと、
(－1)×(1－1)
=(－1)×{(＋1)＋(－1)}
=(－1)×(＋1)＋(－1)×(－1)
=－1＋(－1)×(－1)
ここで、－1と、(－1)×(－1)の計算結果をたすとどうなるでしょう。
当然0になりますよね。
ここから、(－1)×(－1)は＋1になることがわかります。
なぜなら、－1にたして答えが0になる数は＋1しかないからです。
つまり、(－1)×(－1)=＋1ということになり、「マイナス×マイナス=プラス」になることが確認できました。
⑤イメージを使った説明
上の表を使って、「マイナス×マイナス=プラス」になる理由を説明していきます。
まず、勝つことはプラスなことなので＋、負けることはマイナスなことなので－とします。
同様に、自分のチームのことは＋、敵チームのことは－とします。
団体で行うスポーツをイメージして下さい。
自分のチーム(＋)が勝つこと(＋)は、いいことなので＋。
つまり「プラス×プラス=プラス」
自分のチーム(＋)が負けること(－)は、よくないことなので－。
つまり「プラス×マイナス=マイナス」
敵チーム(－)が勝つこと(＋)は、自分チームにとってはよくないことなので－。
つまり「マイナス×プラス=マイナス」
敵チーム(－)が負けること(－)は、自分チームにとってはいいことなので＋。
つまり「マイナス×マイナス=プラス」
※YouTubeに「マイナス×マイナス=プラスになる理由」についての解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
【動画】中1数学「正負の数・なぜマイナス×マイナス＝プラス？」
記事のまとめ
以上、中学生にむけて、「マイナス×マイナス=プラスになる理由」を詳しく説明してきました。
いかがだったでしょうか？
◎今回の記事のポイントをまとめると…
・「速さ・時間・道のり」を使って、「負×負=正」を説明する
・かけ算の意味を考えて、「負×負=正」を説明する
・かける数を小さくしていくことを通して、「負×負=正」を説明する
・分配法則を使って、「負×負=正」を説明する
・イメージを使って、「負×負=正」を説明する
今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。
これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。
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