中1数学「正の数・負の数」指数とは何か?

0~9までの数字が並べてある 今回は、同じ数の積(かけ算)を表す方法である、指数の計算について詳しく説明していきたいと思います。

 指数の計算の基本的なやり方から、負の数や小数、分数の指数計算についても詳しく説明していきたいと思います。

◎この記事で説明するのは、以下の内容です。

かけ算と指数の似ているところ

指数の練習問題

負の数の指数計算

負の数の指数計算 練習問題

分数の指数計算

指数をふくむ計算

指数をふくむ計算 練習問題

先生と元気いっぱいの子どもたち

かけ算と指数の似ているところ

 指数の計算を見ていく前に、1つやらなければならないことがあります。

 それは、「『かけ算』とはどういう計算のことだったのか?」ということのおさらいです。

 例えば、次のようなたし算の計算があったとします。

 3+3+3+3+3

 このたし算は「3」という同じ数を、5回たしています。

 このような同じ数のたし算は、以下に示すようにかけ算で表すことができます。

 3+3+3+3+3

  = 3×5

  = 15

 指数の計算も、かけ算の計算と似たところがあります。

 例として、次のようなかけ算を見てみましょう。

 3×3×3×3×3

 今度は、「3」という同じ数を、5回かけています。

 これを指数を使って表すと次のようになります。

 3×3×3×3×3 = 35

 35は、3の5乗(ごじょう)と読みます。

 そして、3の右上の小さい数5は、3を5回かけることを示したもので、これを「指数」と言います。

楽しそうに勉強する子どもたち

 それでは、以下のかけ算を指数で表してみましょう

 ①、5×5

 ②、3×3×3

 ③、2×2×2×2

 ①は5を2回かけているので、5×5=52

 ②は3を3回かけているので、3×3×3=33

 ③は2を4回かけているので、2×2×2×2=24

 ちなみに、2乗のことを平方(へいほう)、3乗のことを立方(りっぽう)ともいいます。

 平方と立方について、実は小学生のときに学習しているのです。

 覚えていらっしゃるでしょうか?

 「えっ?」という中学生も多いと思います。

 ではお聞きしますが、面積の単位は?

 ㎠(平方センチメートル)㎡(平方メートル)ですよね。

 同じく、体積の単位は?

 ㎤(立方センチメートル)㎥(立方メートル)ですよね。

 それぞれ㎝やmの右上に、2と3の指数がついていることに気付かれたことと思います。

 面積は、㎝やmが単位の縦の長さと横の長さをかけあわせて求めます。

 つまり、㎝やmを2回かけているので、指数に2がついて㎠(平方センチメートル)㎡(平方メートル)という単位になっています。

 体積は、㎝やmが単位の縦の長さと横の長さと高さをかけあわせて求めます。

 つまり、㎝やmを3回かけているので、指数に3がついて㎤(立方センチメートル)㎥(立方メートル)という単位になっています。
計算問題に取り組んでいる男の子


指数の練習問題

 それでは、指数の練習問題をやってみましょう。

(1) 次のかけ算を指数で表しましょう。

 ➀、4×4×4

   ②、3×3

 ③、2×2×2×2×2

 (2) 次の計算をしましょう。

 ➀、53

   ②、34

   ③、16

 では(1)の解答・解説を始めていきます。

 ①は4を3回かけているので、

 4×4×4=43

   ②は3を2回かけているので、

 3×3=32

   ③は2を5回かけているので、

 2×2×2×2×2=25

 続いて(2)の解答・解説を見ていきましょう。

 ➀は、

 53=5×5×5=75

 ②は、

 34=3×3×3×3=81

 ③は、

 16=1×1×1×1×1×1=1

 特に、③は16の計算で、1を6回かけるのではなく、1×6をして答えを「6」にする間違いが非常に多いです。

 似たような問題が出たら、気を付けて計算しましょうね!

計算問題に取り組んでいる男の子


負の数の指数計算

 ここでは、負の数の指数計算について説明していきたいと思います。

 まず、下の2つの問題の違いが分かるかどうか考えてみましょう。

 ① -22

 ② (-2)2

 ➀は、-の符号がついている数字”2″の右上に、指数の”2″があります。

 この場合、どう考えればよいのでしょう?

 -22は、数字”2″の右上に指数の”2″があるので、前についている-の符号は無視して、2だけ2乗すると考えます。

 計算すると、

 -22

 =-2×2

 =-4

 となります。

 次に②の場合は、( )の右上に指数の”2″があります。

 この場合は、「( )内全てを2回かける」ということを表しています。

 よって、-の符号を含めて-2を2回かけます

 計算すると、

 (-2)2

 =(-2)×(-2)

 =+4

 となります。

 このように①と②は形は似ていますが、答えは違いますので、計算のやり方を間違えないように注意しましょう!

机に向かって、一生懸命に勉強している男の子。


負の数の指数計算 練習問題

 それでは、負の数の指数計算についての練習問題をやってみましょう。

 ①、(-1)3

 ②、(-2)4

 ③、-32

 ④、(-3)2

 ⑤、-15

 ⑥、(-1)5

 では➀の解答・解説から見ていきましょう。

 ➀は(-1)のカッコの右上に、指数の”3″があります。

 よって、次のような計算になります。

 (-1)3

 =(-1)×(-1)×(-1)

 =-1

 ②も➀と同様、(-2)のカッコの右上に、指数の”4″があります。

 よって、次のような計算になります。

 (-2)4

 = (-2 )×(-2)×(-2)×(-2)

 =+16

 ③は、①・②と異なり、-3の数字の”3″の右上に、指数の”2″が付いています。

 よって、次のような計算になります。

 -32

 =-3×3

 =-9

 ④は③と似ていますが、カッコの右上に指数が付いています。

 よって、次のように計算しなければなりません。

 (-3)2

 =(-3)×(-3)

 =+9

 ⑤は③と同様、-1の数字の”1″の右上に、指数の”5″が付いています。

 よって、次のような計算になります。

 -15

 =-1×1×1×1×1

 =-1

  間違って”-1×5=-5″としないように注意してくださいね。

 ⑥は⑤と似ていますが、カッコの右上に指数が付いてます。

 よって、次のように計算しなければなりません。

 (-1)5

 =(-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-1)

 =-1

 ⑤と⑥は形が似ていますし答えも一緒になりますが、計算方法は異なります。

 混同しないように気を付けましょう!

机に向かって、一生懸命に勉強している女の子


分数の指数計算

 ここでは、分数の指数計算について説明していきたいと思います。

 まず、下の計算を見て下さい。

 (3/2)^2=3/2×3/2=9/4

 このように、分数にカッコがついていて、その右上に指数があった場合、カッコの中全体を指数の回数だけ、かけなければなりません

 では下のように、分母の数や分子の数だけに指数がついていた場合は、どうなるでしょうか?

 ①3^2/2 ②3/2^2

 分数の分母の数や分子の数にのみ、指数がついていたら、その部分だけ指数の計算をします。

 よって、➀・②を計算すると下のようになります。

  ①3^2/2=(3×3)=/2=9/2 ②3/2^2=3/(2×2)=3/4

 それでは、以下の分数の指数計算にチャレンジしてみましょう!

  ①(-2/5)^2 ②-2^2/5 ③-2/5^2

 ①は分数にカッコがついていて、その右上に指数があります。

 よって、カッコの中全体を、指数の回数だけかけなければなりません。

 したがって、計算は次のようになります。

 (-2/5)^2=(-2/5)×(-2/5)=4/25

 ②・③は、分数の分母の数や分子の数にだけ指数がついているので、その部分だけ指数の計算をします。

 よって、以下のような計算結果になります。

 ②-2^2/5=-(2×2)/5=-4/5 ③-2/5^2=-2/(5×5)=-2/25

机に向かって、楽しそうに計算問題に取り組んでいる男の子


指数をふくむ計算

 最後に指数をふくむ計算について、説明していきたいと思います。

 まず、次のような計算について考えてみましょう。

 (22-5)+2×(-3)2

◎このような式に指数をふくんでいる計算において、計算の順番は次のようになります。

①、指数の計算を行う

②、カッコ内の計算を行う

③、かけ算・わり算の計算を行う

④、たし算・ひき算の計算を行う

 このことを頭に入れて先ほどの計算を見ていきましょう。

 まず最初に、指数の計算をしなければなりません。

 22=4、(-3)2=9となるので、以下のようになります。

 (22-5)+2×(-3)2

 =(4-5)+2×9

 つづいて、カッコ内の計算を行わなければなりません。

 4-5=-1となるので、以下のようになります。

 (4-5)+2×9

 =-1+2×9

 その次に、かけ算の計算を行わなければなりません。

 2×9=18となるので、以下のようになります

 -1+2×9

 =-1+18

 最後にたし算を行うと、答えは以下のようになります。

 -1+18

 =17 (または+17)

机に向かって、楽しそうに計算問題に取り組んでいる女の子


指数をふくむ計算 練習問題

 それでは、指数をふくむ計算についての練習問題をやってみましょう。

 ①、15-(-3)2×(-2)

 ②、(5-42)×2+16

 では、①の問題の解答・解説を見ていきましょう。

 まず、指数の計算を最初に行うので、(-3)2=+9となり、以下のようになります。

 15-(-3)2×(-2)

 =15-(+9)×(-2)

 次にかけ算の計算を行うので、(+9)×(-2)=-18となり、以下のようになります。

 15-(+9)×(-2)

 =15-(-18)

 最後にたし算の計算を行い、答えは以下のようになります。  

 15-(-18)

   =15+18

 =33

 次に②の問題の解答・解説を見ていきましょう。

 まず、指数の計算を最初に行うので、42=16となり、以下のようになります。

 (5-42)×2+16

 =(5-16)×2+16

 つづいてカッコ内の計算を行うので、5-16=-11となり、以下のようになります。

 (5-16)×2+16

 =(-11)×2+16

 次にかけ算の計算を行うので、(-11)×2=-22となり、以下のようになります。

 (-11)×2+16

 =-22+16

 最後にたし算の計算を行い、答えは以下のようになります。  

 -22+16

   =-6

※下のYouTubeにアップした動画でも、「指数の計算」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧ください!


記事のまとめ

 以上、中1数学「正の数・負の数」で学習する「指数」について、詳しく説明してきました。
 いかがだったでしょうか?
 
 
◎今回の記事のポイントをまとめると…
 
・指数とは同じ数の積(かけ算)を表す方法である
 
・2乗のことを「平方」、3乗のことを「立方」ともいう
 
-32と(-3)2の違いに注意する
 
・分数全体にカッコがされており指数がある場合は、分数全体で指数の計算をする
 
・分数の分子・分母の数のみに指数がある場合は、その部分だけ指数の計算をする
 
・指数をふくむ計算の場合、まず最初に指数の計算を行う
 

 今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。

これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。

 ご意見・ご感想、質問などございましたら、下のコメント欄にてお願いします。

先生と元気いっぱいの子どもたち

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