今回は、中1数学「正の数・負の数」で学習する「数全体の集合・整数の集合・自然数の集合」について詳しく説明していきたいと思います。
さらに、「数の集合と四則計算」に関する問題の考え方についても、詳しく説明したいと思います。
◎この記事で説明する内容は、以下の通りです。
「集合」って何？
日常生活で「集合」という言葉を使うのは、どんな時でしょうか？
例えば、友達と待ち合わせするとき。
「○○駅前に、9:00集合ね！」のような言い方をすると思います。
このように「人や物が一か所に集まること、もしくは集めること」という意味で、普段「集合」という言葉を使います。
しかし、数学用語としての「集合」は少しニュアンスが違っています。
「特定のはっきり区別できる条件に合うものをひとまとめにした全体」のことを「集合」といいます。
少し難しい言い回しですよね。
そこで、もう少し簡単に表現すると…
集合とは「同じ仲間のグループ」のことだととらえておくとよいでしょう。
では、もう少し具体的な例で、集合について詳しく説明していきましょう。
「集合」の具体例
例えば、「生物」という集合を考えてみましょう。
ヒマワリなどの植物
鳥や犬などの動物
ミジンコなどの微生物
カブトムシなどの昆虫
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このような生命活動を行っているものは、全て「生物」という集合に含まれます。
しかし、石や水や建物など、生命活動を行っていないものは、「生物」という集合には含まれません。
次に、「生物の集合」の中を細かく見てみましょう。
「生物」の集合の中でも、桜やヒマワリ、杉などは「植物の集合」。
犬や猫、亀や鳥などは「動物の集合」。
また、カブトムシやコオロギ、バッタなどは「昆虫の集合」。
このように、「生物の集合」の中に、さらに様々な集合が存在しています。
さらに、「生物の集合」の中の「動物の集合」の中を細かく見ていきましょう。
すると、犬や猫、象など、親と同じ形で産まれてきて母乳で育てられる「ほ乳類の集合」。
ウグイスやスズメ、ツバメのように、翼で空を飛ぶことができる「鳥類の集合」。
カツオやサンマ、サケのように、水の中で生活する「魚類の集合」。
このように、「生物の集合」の中の「動物の集合」の中にも、様々な集合が存在しています。
さらに、ほ乳類や鳥類、魚類の集合の中も、さらに細かく見ていくと、もっとたくさんの集合が存在しています。
そして、今見てきた「生物の集合」を目に見える形にしたものが、下の図になります。
この図を見ると、まず「生物」という大きな集合があります。
そして、その中に「動物」という集合があります。
さらに、その「動物」の集合の中に「ほ乳類」という集合があることがわかります。
つまり、一番大きい集合が「生物」、そして「生物」より小さい「動物」という集合があり、さらにそれより小さい「ほ乳類」という集合があるということです。
このように、集合には大きさ、つまり大小関係があります。
そのことをしっかり理解しておきましょう。
では、「集合」について理解できているかどうかチェックするために、問題にチャレンジしてみましょう！
「四角形の集合」と「平行四辺形の集合」と「長方形の集合」、それぞれの集合の関係を図に表してみましょう。
まず、一番大きい集合は何でしょう？
それは、「四角形」の集合です。
四角形は４つの角がある図形のことでしたよね。
つまり、平行四辺形も長方形もすべて四角形に含まれます。
よって、一番大きい集合は「四角形」ということになります。
では、次に大きい集合は何でしょう？
「平行四辺形」は向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形。
「長方形」は４つの角がすべて等しい(つまりすべて直角)四角形。
また長方形は、「向かい合う辺がそれぞれ平行である」という平行四辺形の性質を持っていました。
そのうえ、さらに４つの角がすべて等しいという性質も持っています。
つまり、「平行四辺形」の中で特別な条件(４つの角がすべて等しい)を持っているのが、「長方形」というです。
よって、「四角形」の次に大きい集合は「平行四辺形」であり、その中に「長方形」が含まれているのです。
したがって、３つの集合の関係を図に表すと、下の図のようになります。
集合についての基本的な考えは、ある程度つかんでもらえたと思います。
では次に「数全体の集合」・「整数の集合」・「自然数の集合」の関係について、見ていきたいと思います。
数全体の集合・整数の集合・自然数の集合の関係
それでは、「数全体の集合」、「整数の集合」、「自然数の集合」の中で、最も大きな集合はどれでしょうか？
「数全体の集合」について見ていくと…
まず、5や8、1/3や8/5、0.6や5.3など、正の数の整数・分数・小数。
また、－4や－10、－1/2や－11/3、－0.8や－3.2など、負の数の整数・分数・小数。
さらに、正でも負でもない整数である0。
「数全体の集合」は、上に挙げたすべての数を含んでいます。
次に「整数の集合」について見ていくと…
まず、5や8などの正の数の整数。
また、－4や－10などの負の数の整数。
さらに、正でも負でもない整数である0。
「整数の集合」は、小数や分数を除いたすべての整数を含んでいます。
最後に「自然数の集合」について見ていくと、5や8などのすべての正の数の整数を含んでいます。
よって、正の数・負の数の整数はもちろんのこと、正の数・負の数の小数や分数を含んでいる「数全体の集合」が最も大きい集合ということになります。
では、次に大きい集合はどれでしょうか？
「自然数の集合」は、整数の中でも正の整数の集まりです。
つまり、「自然数の集合」は「整数の集合」の中の正の整数の集まりということになります。
よって、「数全体の集合」の次に大きい集合は「整数の集合」になります。
そして、その「整数の集合」の中に「自然数の集合」が含まれるということになります。
「数全体の集合」・「整数の集合」・「自然数の集合」の関係を表したのが、下の図になります。
「数全体の集合」の中に「整数の集合」があること。
さらにその中に「自然数の集合」があるという、数の集合の大小関係をつかんでもらえたのではないかと思います。
それでは、次に「数の集合と四則計算」に関する問題に取り組んでいきましょう。
数の集合と四則計算（整数の集合）
それでは、「数の集合と四則計算」に関する問題をやってみましょう。
まずは、「整数の集合と四則計算」に関する問題です。
次の計算結果はいつでも整数になるのか。
なるものには〇をかき、ならないものにはならない場合の計算例を１つ書きましょう。
① ( 整数 )＋( 整数 )
② ( 整数 )－( 整数 )
③ ( 整数 )×( 整数 )
④ ( 整数 )÷( 整数 )
まず、①から考えてみましょう。
たし算の答えが、整数以外(つまり小数や分数)になるのは、小数や分数がたし算に使われている場合です。
よって整数と整数をたし算すれば、答えは必ず整数になりますので、①は〇。
②の場合も同様に、ひき算の答えが、整数以外(つまり小数や分数)になるのは、小数や分数がひき算に使われている場合です。
よって整数と整数をひき算すれば、答えは必ず整数になりますので、②も〇。
③の場合も同様に、かけ算の答えが、整数以外(つまり小数や分数)になるのは、小数や分数がひき算に使われている場合です。
よって整数と整数をかけ算すれば、答えは必ず整数になりますので、③も〇。
では、④の場合はどうでしょうか？
わり算の場合は、整数だけをわり算に使っても、答えが整数以外(つまり小数や分数)になる場合があります。
例えば、2÷4の答えは0.5(もしくは1/2)となります。
このように、整数÷整数の答えは、小数や分数になってしまう場合があります。
□÷△というわり算において、□も△も整数であったとします。
しかし、□が△で割り切れない場合は、答えが整数以外の数になってしまいます。
よって④は、いつも成り立つわけではありません。
成り立たない例として、2÷4=0.5(1/2)など多数あります。
◎この問題を通してわかったことは2つあります。
①整数どうしの四則計算において、たし算・ひき算・かけ算のときは答えも常に整数になること。
②整数どうしの四則計算において、わり算のときは答えが整数でない場合もあるということ
つまり、たし算・ひき算・かけ算は「整数の集合」の中で計算が成り立つということがわかりました。
それでは次に、「自然数の集合と四則計算」の問題にチャレンジしてみましょう。
数の集合と四則計算（自然数の集合）
それでは、「自然数の集合と四則計算」に関する問題をやってみましょう。
次の計算結果はいつでも自然数になるのか。
なるものには〇をかき、ならないものにはならない場合の計算例を１つ書きましょう。
① ( 自然数 )＋( 自然数 )
② ( 自然数 )－( 自然数 )
③ ( 自然数 )×( 自然数 )
④ ( 自然数 )÷( 自然数 )
まず、①から考えてみましょう。
自然数とは、正の整数のことであり、整数と整数をたし算すれば、答えは必ず整数になりました。
また正の数と正の数をたせば、答えは必ず正の数になります。
よって、正の自然数である自然数と自然数をたせば、答えは必ず正の自然数つまり自然数になりますので、①は〇。
②の場合はどうでしょう。
整数と整数をひき算すれば、答えは必ず整数になりました。
しかし、正の数と正の数のひき算をして、答えが正の数ではない(つまり0や負の数)になる場合があります。
例えば、(＋5)－(＋7)の場合、計算結果は－2になり正の数ではありません。
□－△というひき算において、□も△も正の数であっても、□より△の方が大きい正の数の場合、答えが負の数になってしまいます。
このように、正の整数である自然数から自然数をひいても、答えが0や負の整数になる場合があります。
答えが自然数にならないこともあるので、②はいつも成り立たつわけではないということになります。
成り立たない場合の例として、(＋5)－(＋7)=－2など、多数あります。
③の場合はどうでしょうか？
整数と整数をかけ算すれば、答えは必ず整数になりました。
また正の数と正の数をかければ、答えは必ず正の数になります。
よって、正の自然数である自然数と自然数をかければ、答えは必ず正の自然数つまり自然数になりますので、③は〇。
最後の④の場合はどうでしょうか？
「整数の集合と四則計算の問題」でみたように、わり算の場合は、整数だけをわり算に使っても、答えが整数以外になる場合がありました。
「整数÷整数＝整数」は成り立たない場合もある。
ということは当然、正の整数である自然数においても「自然数÷自然数＝自然数」が成り立たない場合があるということになります。
よって④は、いつも成り立つわけではなく、成り立たない例として、2÷4=0.5(1/2)など多数あります。
◎この問題を通してわかったことは2つあります。
①自然数どうしの四則計算では、たし算・かけ算のときは答えも常に自然数になること。
②自然数どうしの四則計算では、ひき算・わり算のときは答えが自然数でない場合もあるということ。
つまり、たし算・かけ算は「自然数の集合」の中で計算が成り立つということがわかりました。
※YouTubeに「数の集合」についての解説動画をアップしていますので、↓のリンクからご覧下さい！
記事のまとめ
これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。
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