今回は、中学3年の数学で学習する「式の展開」について、記事を書いていきたいと思います。
この記事では、
「展開ってなに？」
「乗法公式って多すぎる！！」
「どの乗法公式を使えばいいの？」
という中学生に、基本からわかりやすく丁寧に解説しています。
基本問題も載せていますので、ぜひご覧下さい。
この記事では、次の4つの内容について詳しく説明しています。
この記事を読んで、展開や乗法公式についてしっかり理解しましょう！
①式の展開の基本パターン
はじめに、式の展開の基本の形を見ていきます。
すべての展開パターンの基本になりますので、きちんと覚えておきましょう！
まず、次の式をご覧下さい。
(a+b)(c+d)
上記の式は、次のように計算します。
(a+b)(c+d)
=ac+ad+bc+bd
左辺は、(a+b)×(c+d)ですのでかけ算です。
一方の右辺は、acとadとbcとbdのたし算になっています。
このように、かけ算をたし算の形で表すことを「展開」するといいます。
では、なぜこのような形に展開されるのかについて考えてみましょう。
(1) (a+b)(c+d)の展開を面積で考える
次の図を参考に、(a+b)(c+d)の展開について詳しく説明したいと思います。
大きな長方形の縦の長さはa+b、横の長さはc+dです。
長方形の面積は「タテ×ヨコ」でしたよね。
よって、大きい長方形の面積は、
(a+b)(c+d)
と表すことができます。
また、長方形は4つに分割されていますよね。
左上の長方形は縦の長さはa、横の長さはcですので、面積はacです。
同じように、右上の長方形は縦の長さはa、横の長さはdですので、面積はadです。
左下の長方形は縦の長さはb、横の長さはcですので、面積はbcです。
そして、左下の長方形は縦の長さはb、横の長さはdですので、面積はbdです。
大きな長方形の面積は、これらの4つの長方形の面積の合計ですので、
ab+ac+bc+bd
と表すことができます。
つまり、
(a+b)(c+d)
= ab+ac+bc+bd
であるということができますね。
(2) (a+b)(c+d)の展開を式で考える
先ほどは(a+b)(c+d)の公式が成り立つ理由を、長方形の面積を用いて説明しました。
ここでは、別の方法で公式が成り立つ理由を説明したいと思います。
まずc+d=Mとおきます。
それから、(a+b)(c+d)の展開について考えてみると…、
(a+b)(c+d)
= (a+b)×M
ここで分配法則を使って、Mをaとbにかけて
(a+b)×M
= aM+bM
Mをc+dに戻すと、
aM+bM
= a(c+d)+b(c+d)
ここで分配法則を使って、a(c+d)とb(c+d)のカッコを外すと、
a(c+d)+b(c+d)
= ac+ad+bc+bd
となります。
つまり、
(a+b)(c+d)
= ac+ad+bc+bd
であるということができます。
②乗法公式 (x+a)(x+b)の展開
まず、(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bdの公式を使って、次の式を展開してみましょう。
(x+5)(x+7)
= x2+7x+5x+35
= x2+12x+35
上の計算のように、7xと5xは同じ文字の項なのでまとめて12xにすることができます。
(x+5)(x+7)
= x2+12x+35
ここで、左辺のカッコ内の数5と7、右辺のxの係数12と数の項35を見て、何か気付きませんか？
そう、実は5と7をたした12がxの係数に、5と7をかけた35が数の項になっていますよね。
よって、このようなカッコの前の項が同じ式の展開は、次のようにパターン化することができます。
(x+□)(x+△)
= x2+(□+△)x+□△
これが1番目の乗法公式です。
それではこの乗法公式を使って展開する問題を、２問ほど練習をしてみましょう。
(1)、(a−3)(a+5)
(2)、(x－8)(x+2)
(1)は、－3と+5をたすと+2、かけると−15になるので、
(a−3)(a+5)
= a2+2a−15
(2)は、－8と+2をたすと−6、かけると−16になるので、
(x－8)(x+2)
= x2－6x－16
※YouTubeに「乗法公式 (x+a)(x+b)の展開」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
③乗法公式 (a+b)2と(a−b)2の展開
まず(x+□)(x+△)=x²+(□+△)x+□△の公式を使って、次の2つの式を展開してみましょう。
①(x+5)2 =(x+5)(x+5)
= x2+10x+25
②(x－5)2=(x－5)(x－5)
= x2－10x+25
①の(x+5)2を展開した結果をみると、
(x+5)2= x2+10x+25
左辺のカッコ内のxと5をかけたら5x。
その5xを2倍した10xが、右辺の真ん中の項になっています。
また、左辺のカッコ内の5を2乗した25が、右辺の数の項になっています。
よって、次のよう形ににまとめることができます。
(□+△)2= □2+2□△+△2
これが2番目の乗法公式です。
この乗法公式のポイントは、カッコ内の□と△をかけ合わせて2倍したものが、右辺の真ん中の項＋2□△になることです。
つづいて、②の(x－5)2を展開した結果も見てみましょう！
(x－5)2= x2－10x+25
左辺のカッコ内のxと－5をかけたら−5x。
その5xを2倍した−10xが、右辺の真ん中の項になっています。
また、左辺のカッコ内の−5を2乗した25が、右辺の数の項になっています。
よって、次のようにまとめることができます。
(□−△)2= □2－2□△+△2
これが3番目の乗法公式です。
この乗法公式には、ポイントが2つあります。
1つは、カッコ内の□と−△をかけ合わせて2倍したものが、右辺の真ん中の項−2□△になること。
もう1つは、右辺の△2の符号は＋になること。
それではこの2つの乗法公式を使って展開する問題を、３問ほど練習をしてみましょう。
(1)、(x+8)2
(2)、(a−7b)2
(3)、(2x+5y)2
(1)は、xと+8をかけると+8xで、これを2倍すると+16x。
また、8を2乗すると+64なので、
(x+8)2= x2+16x +64
(2)は、aと－7bをかけると−7abで、これを2倍すると−14ab。
また、7bを2乗すると+49b2なので、
(a−7b)2= a2−14ab +49b2
(3)は、2xと5yをかけると+10xyで、これを2倍すると+20xy。
また、5yを2乗すると+25y2なので、
(2x+5y)2
= 4x2+20xy +25y2
※YouTubeに「乗法公式 (a+b)2と(a−b)2の展開」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
【動画】中3数学「式の展開・(a＋b)²と(a－b)²の展開」
④乗法公式 (a+b)(a−b)の展開
まず(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bdの公式を使って、次の式を展開してみましょう。
(x+4)(x−4)
= x2−4x+4x−16
= x2−16
上の計算の通り－4xと+4xの項をまとめると0になるので、(x+4)(x−4)を展開すると次のようになります。
(x+4)(x−4)= x2−16
計算結果を見ると、カッコ内の前の項を2乗したものから、後の項を2乗したもののひき算の形になっていますね。
よって、次のようにまとめることができます。
(□+△)(□−△)= □2−△2
これが4番目の乗法公式です。
それではこの乗法公式を使って展開する問題を、2問ほど練習をしてみましょう。
(1)、(x＋6y)(x－6y)
(2)、(3a+5b)(3a−5b)
(1)は、xの2乗がx2、6yの2乗が36y2なので、
(x＋6y)(x－6y)
= x2－36y2
(2)は、3aの２乗が9a2、5bの2乗が25b2なので、
(3a+5b)(3a−5b)
= 9a2－25b2
※YouTubeに「乗法公式 (a+b)(a−b)の展開」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
記事のまとめ
つづいて、この記事で説明してきた4つの乗法公式を、まとめてみましょう。
① (x+□)(x+△)= x2+(□+△)x+□△
② (□+△)2= □2+2□△+△2
③ (□−△)2= □2－2□△+△2
④ (□+△)(□−△)= □2−△2
乗法公式をしっかり覚えていないと、この次で学習する「因数分解」でつまずいてしまいます。
確実に覚えられるよう、くり返し練習しておきましょう！
今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。
これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。
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