中3数学「因数分解」応用問題 2つのパターンを身につけよう!

1、2、3の数字が並んでいる写真

 今回は、中学3年の数学で学習する「因数分解の応用問題」について、詳しく解説したいと思います。

 「因数分解の基本」については、過去にアップした因数分解・必ず解ける5つのポイントで詳しく解説していますので、ぜひそちらをご覧下さい。

 この記事では、以下の3つの内容について説明しています。

 共通因数をとり出しカッコ内を因数分解

 ② 文字に置き換える因数分解

 因数分解の応用・練習問題

 

 この記事を読んで、因数分解の応用問題をしっかり解けるようになりましょう!

先生と元気いっぱいの子どもたち

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①共通因数をとり出しカッコ内を因数分解

 まず、次の例題をご覧下さい。

【例題】

 2x²+20x+42

 「x²の係数」を見ると”2″になっているので、このままだと因数分解の公式が使えないですよね。 

 そこで「xの項の係数」と「数の項」を見ると、両方とも”20″と”42″で2の倍数です。

 つまり、すべての項に2の倍数があります。

 

 したがって、次のように”2″を共通因数として取り出すことができます。

  2x²+20x+42

 =2(x²+10x+21)

 さらにカッコ内の”x²+10x+21“に注目すると、この部分は、

  x²+(□+△)x+□△

 =(x+□)(x+△)

 の公式で因数分解できますよね。

 たして10になる数とかけて21になる数の組合せは、7と3なので、

 2(x²+10x+21)

=2(x+7)(x+3)

 これが答えになります。

先生のイラスト

◎この問題は

 共通因数をとり出す

 ②さらにカッコ内を因数分解する

 という2段階で解くパターンの問題です。

 共通因数をとり出しても安心せず、カッコ内の因数分解も忘れないように注意しましょうね!

一生懸命、勉強している男の子


②文字に置き換える因数分解

 つづいて、次のパターンの因数分解について考えてみましょう。

【例題1】

 (x+y)²+11(x+y)+30

 この問題を解くポイントは、(x+y)を1つのかたまりとして見ることです。

 具体的には、(x+y)を1つの文字に置き換えます。

 x+y=Aとおくと、

 (x+y)²+11(x+y)+30

=A²+11A+30

 この式は(A+□)(A+△)の形に因数分解できます。

 たして”11″、かけて”30″になる数の組合せは、“6”と”5″なので、

 A²+11A+30

=(A+6)(A+5)

 ここでAをx+yに戻すと、

 (A+6)(A+5)

=(x+y+6)(x+y+5)

 これがこの問題の答えになります。

 置き換えた文字は、元に戻さなければなりません。

 忘れないように気を付けましょう!

一生懸命、勉強している女の子

 別パターンの、文字に置き換える因数分解の問題を見てみましょう。

【例題2】

 a(x+y)+5b(x+y)

 この問題も、(x+y)を1つの文字に置き換えてみましょう。

 x+y=Aとおくと、

 a(x+y)+5b(x+y)

=aA+5bA

 それぞれの項に”A”があるので、“A”を共通因数として取り出すと、

 aA+5bA

=A(a+5b)

 

 ここでAをx+yに戻すと、

 A(a+5b)

=(x+y)(a+5b)

 これが答えになります。

 例題1は、文字に置き換えた後、公式を使って因数分解するパターンでした。

 一方の例題2は、文字に置き換えた後、置き換えた文字を共通因数として取り出すパターンでした。

 それぞれのパターンについてしっかり覚えて、使いこなせるようになっておきましょう!

楽しそうに勉強する子どもたち


③因数分解の応用・練習問題

 では、ここまで解説してきた因数分解の練習問題です。

 しっかり理解できているか、よく確認して下さい。

【練習問題】

(1)3x²-6x-72

(2)5x²-5

(3)(x+2y)²+3(x+2y)-18

(4)2a(x-3)-b(x-3)

 それでは、練習問題の解答解説です。

【解答解説】

(1)すべての項に3の倍数があるので、3を共通因数として取り出せます。

 3x²-6x-72

=3(x²-2x-24)

 さらにカッコ内も(x+□)(x+△)の形に因数分解できます。

 たして−2、かけて−24になる数の組合せは、-6と+4なので、

 3(x²-2x-24)

=3(x-6)(x+4)【答】

楽しそうに勉強している男の子のイラスト

(2)各項に5がかけられているので、5を共通因数として取り出せます。

 5x²-5

=5(x²-1)

 カッコ内の−1を−1²と見なすと、

 □²−△²

=(□+△)(□−△)

 の公式を使って因数分解できます。

 5(x²-1)

=5(x+1)(x-1)【答】

頑張って楽しそうに勉強している女の子

(3) x+2y=Aとおくと

 (x+2y)²+3(x+2y)-18

= A²+3A-18

 この式は、(A+□)(A−△)の形に因数分解できます。

 たして3、かけて−18になる数の組合せは、6と-3なので、

 A²+3A-18

=(A+6)(A-3)

 ここでAをx+2yに戻すと、

 (A+6)(A-3)

=(x+2y+6)(x+2y-3)【答】

楽しそうに勉強して手を挙げている男の子と女の子

(4) x−3=Aとおくと、

 2a(x-3)-b(x-3)

=2aA-bA

 この式において共通因数である”A”をとり出すと、

 2aA-bA

=A(2a-b)

 ここでAをx-3に戻すと、

 A(2a-b)

=(x-3)(2a-b)【答】

勉強を頑張る子どもたちに囲まれた先生のイラスト


記事のまとめ

 以上、中3数学で学習する「因数分解の応用問題について詳しく説明してきました。
 いかがだったでしょうか?
 
今回の記事の内容
共通因数をとり出してから、カッコ内を因数分解するパターン
(例) 3x²+27x+60
      =3(x²+9x+20)
      =3(x+5)(x+4)
 
文字に置き換えをして、因数分解をするパターン
(例) a(x+y)+2b(x+y)
      =aA+2bA
      =A(a+2b)
      =(x+y)(a+2b)
  

 今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。

 これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。

 ご意見・ご感想、質問などございましたら、下のコメント欄にてお願いします。

先生と元気いっぱいの子どもたち

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