中3数学「式の展開」乗法公式を使う展開の4つのポイント

数学を考えている人の写真

 今回は、中学3年の数学で学習する「式の展開」について、記事を書いていきたいと思います。

 この記事では、

 「展開ってなに?」

 「乗法公式って多すぎる!!」

 「どの乗法公式を使えばいいの?」

 という中学生に、基本からわかりやすく丁寧に解説しています。

 基本問題も載せていますので、ぜひご覧下さい。

 この記事では、次の4つの内容について詳しく説明しています。

式の展開の基本パターン

乗法公式 (x+a)(x+b)の展開

③ 乗法公式 (a+b)2と(a−b)2の展開

④ 乗法公式 (a+b)(a−b)の展開

 この記事を読んで、展開乗法公式についてしっかり理解しましょう!

先生と元気いっぱいの子どもたち

①式の展開の基本パターン

 はじめに、式の展開の基本の形を見ていきます。

 すべての展開パターンの基本になりますので、きちんと覚えておきましょう!

 まず、次の式をご覧下さい。

 (a+b)(c+d)

 上記の式は、次のように計算します。

 (a+b)(c+d)

   =ac+ad+bc+bd

 左辺は、(a+b)×(c+d)ですのでかけ算です。

 一方の右辺は、acとadとbcとbdのたし算になっています。

 このように、かけ算をたし算の形で表すことを「展開」するといいます。

 では、なぜこのような形に展開されるのかについて考えてみましょう。

一生懸命、勉強している男の子

(1) (a+b)(c+d)の展開を面積で考える

 次の図を参考に、(a+b)(c+d)の展開について詳しく説明したいと思います。

    展開の公式を面積で説明するための、長方形の図

 大きな長方形の縦の長さはa+b、横の長さはc+dです。

 長方形の面積は「タテ×ヨコでしたよね。

 よって、大きい長方形の面積は、

  (a+b)(c+d)

 と表すことができます。

 また、長方形は4つに分割されていますよね。

 左上の長方形は縦の長さはa、横の長さはcですので、面積はacです。

 同じように、右上の長方形は縦の長さはa、横の長さはdですので、面積はadです。

 左下の長方形は縦の長さはb、横の長さはcですので、面積はbcです。

 そして、左下の長方形は縦の長さはb、横の長さはdですので、面積はbdです。

 大きな長方形の面積は、これらの4つの長方形の面積の合計ですので、

  ab+ac+bc+bd

 と表すことができます。

 つまり、

 (a+b)(c+d)

 = ab+ac+bc+bd

 であるということができますね。

一生懸命、勉強している女の子

(2) (a+b)(c+d)の展開を式で考える

 先ほどは(a+b)(c+d)の公式が成り立つ理由を、長方形の面積を用いて説明しました。

 ここでは、別の方法で公式が成り立つ理由を説明したいと思います。

 まずc+d=Mとおきます。

 それから、(a+b)(c+d)の展開について考えてみると…、

  (a+b)(c+d)

  = (a+b)×M

 ここで分配法則を使って、Mをaとbにかけて

  (a+b)×M

  = aM+bM

 Mをc+dに戻すと、

  aM+bM

  = a(c+d)+b(c+d)

 ここで分配法則を使って、a(c+d)とb(c+d)のカッコを外すと、

  a(c+d)+b(c+d)

  = ac+ad+bc+bd

 となります。

 つまり、

  (a+b)(c+d)

  = ac+ad+bc+bd

    であるということができます。

楽しそうに勉強する子どもたち

 
※下のYouTubeにアップした動画でも、「式の展開の公式」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!
 

②乗法公式 (x+a)(x+b)の展開

 まず、(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bdの公式を使って、次の式を展開してみましょう。

 (x+5)(x+7)

 = x2+7x+5x+35

   = x2+12x+35

 上の計算のように、7xと5xは同じ文字の項なのでまとめて12xにすることができます。

 (x+5)(x+7)

 = x2+12x+35

 ここで、左辺のカッコ内の数5と7、右辺のxの係数12と数の項35を見て、何か気付きませんか?

 そう、実は5と7をたした12xの係数に、5と7をかけた35数の項になっていますよね。

 よって、このようなカッコの前の項が同じ式の展開は、次のようにパターン化することができます。

 (x+□)(x+△)

 = x2+(□+△)x+□△

 これが1番目の乗法公式です。

頑張って楽しそうに勉強している女の子

 それではこの乗法公式を使って展開する問題を、2問ほど練習をしてみましょう。

 (1)、(a−3)(a+5)

 (2)、(x-8)(x+2)

 (1)は、-3と+5をたすと+2、かけると−15になるので、

  (a−3)(a+5)

  = a2+2a−15

 (2)は、-8と+2をたすと−6、かけると−16になるので、

  (x-8)(x+2)

  = x2-6x-16

楽しそうに勉強している男の子のイラスト

※下のYouTubeにアップした動画でも、「乗法公式 (x+a)(x+b)の展開」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!
 

③乗法公式 (a+b)2と(a−b)2の展開

 まず(x+□)(x+△)=x²+(□+△)x+□△の公式を使って、次の2つの式を展開してみましょう。

①(x+5)=(x+5)(x+5)

         = x2+10x+25

②(x-5)2=(x-5)(x-5)

         = x2-10x+25

 ①の(x+5)2を展開した結果をみると、

 (x+5)2= x2+10x+25

 左辺のカッコ内のxと5をかけた5x

 その5xを2倍した10xが、右辺の真ん中の項になっています。

 また、左辺のカッコ内の5を2乗した25が、右辺の数の項になっています。

 よって、次のよう形ににまとめることができます。

 (□+△)2= □2+2□△+△2

 これが2番目の乗法公式です。

 この乗法公式のポイントは、カッコ内の□と△をかけ合わせて2倍したものが、右辺の真ん中の項+2□△になることです。

勉強を一生懸命している男の子のイラスト

 つづいて、②の(x-5)2を展開した結果も見てみましょう!

 (x-5)2= x2-10x+25

 左辺のカッコ内のxと-5をかけた−5x

 その5xを2倍した−10xが、右辺の真ん中の項になっています。

 また、左辺のカッコ内の−5を2乗した25が、右辺の数の項になっています。

 よって、次のようにまとめることができます。

 (□−△)2= □2-2□△+△2

 これが3番目の乗法公式です。

 この乗法公式には、ポイントが2つあります。

 1つは、カッコ内の□と−△をかけ合わせて2倍したものが、右辺の真ん中の項−2□△になること。

 もう1つは、右辺の2の符号は+になること。

勉強を一生懸命やっている女の子のイラスト

 それではこの2つの乗法公式を使って展開する問題を、3問ほど練習をしてみましょう。

 (1)、(x+8)2

   (2)、(a−7b)2

   (3)、(2x+5y)2

 (1)は、xと+8をかけると+8xで、これを2倍する+16x

 また、8を2乗すると+64なので

 (x+8)2= x2+16x +64

 (2)は、aと-7bをかけると−7abで、これを2倍する−14ab

 また、7bを2乗すると+49b2なので

 (a−7b)2= a2−14ab +49b2

  (3)は、2xと5yをかけると+10xyで、これを2倍する+20xy

  また、5yを2乗すると+25y2なので、

 (2x+5y)2

 = 4x2+20xy +25y2

勉強を頑張る子どもたちに囲まれた先生のイラスト

※下のYouTubeにアップした動画でも、「乗法公式 (a+b)2と(a−b)2の展開」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!
 

④乗法公式 (a+b)(a−b)の展開

 まず(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bdの公式を使って、次の式を展開してみましょう。

 (x+4)(x−4)

 = x2−4x+4x−16

   = x2−16

 上の計算の通り-4xと+4xの項をまとめると0になるので、(x+4)(x−4)を展開すると次のようになります。

 (x+4)(x−4)= x2−16

 計算結果を見ると、カッコ内の前の項を2乗したものから、後の項を2乗したもののひき算の形になっていますね。

 よって、次のようにまとめることができます。

 (□+△)(□−△)= □2−△2

 これが4番目の乗法公式です。

一生懸命、数学の問題を解いている男の子のイラスト

 それではこの乗法公式を使って展開する問題を、2問ほど練習をしてみましょう。

 (1)、(x+6y)(x-6y)

 (2)、(3a+5b)(3a−5b)

 (1)は、xの2乗x26yの2乗36y2なので、

 (x+6y)(x-6y)

 = x2-36y2

 (2)は、3aの2乗9a25bの2乗25b2なので、

 (3a+5b)(3a−5b)

 = 9a2-25b2

楽しそうに勉強して手を挙げている男の子と女の子

※下のYouTubeにアップした動画でも、「乗法公式 (a+b)(a−b)の展開」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!
 

記事のまとめ

 以上、中3数学で学習する「展開」や「乗法公式について詳しく説明してきました。
 いかがだったでしょうか?
 
 まず展開とは、
 かけ算の式をすべてたし算の式になおすことでした。
 
 また、展開の基本となるパターン
 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
 
 でした。
 

 つづいて、この記事で説明してきた4つの乗法公式を、まとめてみましょう。

 ① (x+□)(x+△)= x2+(□+△)x+□△

 ② (□+△)2= □2+2□△+△2

 ③ (□−△)2= □2-2□△+△2

 ④ (□+△)(□−△)= □2−△2

 乗法公式をしっかり覚えていないと、この次で学習する「因数分解」でつまずいてしまいます。

 確実に覚えられるよう、くり返し練習しておきましょう!

 今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。

 これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。

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先生と元気いっぱいの子どもたち