中2数学「式の計算」文字式の利用・式による説明が解ける!

黒板で数学の問題を解いている生徒の写真

 今回も、中学2年の数学で学習する「式の計算」について、記事を書いていきたいと思います。

 前回の記事では単項式と多項式、次数、同類項について、詳しく解説しました。

 今回の記事では、

 「文字式の利用の問題の解き方がわからない…。」

 「偶数や奇数、倍数を文字でどう表せばいいの?」

 「式による説明をうまく書くことができない!」

 という中学生に、基本的な例題をもとにわかりやすく丁寧に解説しています。

 この記事では、「文字式の利用・式による説明」の2つの例題について、詳しく説明しています。

文字式の利用「式による説明」の解き方

「式による説明」2つの奇数の和の説明

 この記事を読んで、「文字式の利用・式による説明」の解き方について、しっかり理解しましょう!

先生と元気いっぱいの子どもたち

①文字式の利用「式による説明」の解き方

では、次の問題について一緒に考えていきましょう!

「2ケタの正の整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえてできた数との和は、11の倍数になります。その理由を説明しましょう。」

 まずはこの問題に書いてあることが正しいのかどうか、いくつかの数を使って確かめてみましょう。

 15+51=66

 34+43=77

   62+26=88

 確かにもとの数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえてできた数との和は、11の倍数になっていますね。

 しかし、すべての数について調べ上げるのは大変です。

 そこで、文字を使うことを考えてみましょう。

 数学において文字は、いろいろな数を入れることができる箱のようなものでしたね。

 文字を使ってうまく説明できれば、その文字の中にあらゆる数を入れることができるので、すべての数を調べ上げなくても問題を説明することができます。

一生懸命、勉強している男の子

(1)2ケタの整数を2つの文字で表す方法

 まず、この問題で出てくる2ケタの整数を、どうやって文字で表せばよいかを考えてみましょう。

 2ケタの数である”36”を例に、考えてみましょう。

 36は、十の位の数は”3”で、一の位は”1”です。

 これは、36とは「10が3つ、1が6つでできている数」であることを表しています。

 このことを式で表すと、下のように表すことができます。

 36=10×3+1×6

 同じように、”57”なら「10が5つ、1が7つでできている数」ですので、

 57=10×5+1×7

 と表すことができますね。

 では十の位をx、一の位の数をyとして、問題の2ケタの数を表すにはどうしたらよいでしょうか?

 10がx個、1がy個ある数ということなので、

 10×x+1×y

 =10x+y

 と表すことができます。

 では続いて、十の位の数と一の位の数を入れかえた数は、どう表したらよいでしょうか?

 この場合、十の位がy、一の位の数がxということ。

 つまり、10がy個、1がx個ある数ということなので、

 10×y+1×x

 =10y+x

 と表すことができます。

一生懸命、勉強している女の子

(2)□の倍数は、□×(整数)で表される

 それでは、もとの数である 10x+yと、十の位の数と一の位の数を入れかえた数 10y+xの和を計算してみましょう。

(10x+y)+(10y+x)

= 11x+11y

 次に、分配法則について思い出しておきましょう。

 分配法則とは次のようなものでした。

 □×(△+〇)=△×□+〇×□

 カッコの外から□がかけられている場合、カッコ内のそれぞれの項に□をかけて、カッコを外すことができました。

 この式を逆にすると、

 △×□+〇×□=□×(△+〇)

 ということができます。

 このように、同じ□をかけられている項どうしは、□をカッコの前にかけてまとめることができます。

 このことを利用すると、

 11x+11y = 11(x+y)

 と表すことができます。

楽しそうに勉強している男の子のイラスト

 では、11(x+y)が11の倍数であるといえるかどうか、考えてみましょう。

 11の倍数とは、33、55、77、88のような数ですよね。

 これらの数は、次のように表すことができます。

  33=11×3

    55=11×5

  77=11×7

  88=11×8

 以上のように、11の倍数は「11×(整数)」で表すことができます。

 ではもう一度、11(x+y)について詳しく見ていきましょう。

 x+yが整数であるならば、11(x+y)は「11×(整数)」ですので、11の倍数であると言えますよね。

 「xとyがどういう数なのか」考えてみると…、

 xは2ケタの整数の十の位の数なので、1~9のいずれかの整数です。

 同じように、入れかえた後、yも十の位の数になるので、1~9のいずれかの整数です。

 ということは、整数であるx整数であるyの和である” x+y”も、整数になります

 よって、x+yが整数なので、11(x+y)は11の倍数であると言えます。

 つまり、

「2ケタの正の整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえてできた数との和は、11の倍数になる」

 と言えます。

 このように、一般的にある数□の倍数は、「□×(整数)」という形で表すことができます。

 しっかり覚えておきましょう。

頑張って楽しそうに勉強している女の子

(3)「式による説明」模範解答

 これまでの内容をまとめた模範解答は以下の通りです。

 よく読んで、解答の流れをしっかり理解しましょう。

[解答]

 もとの数の十の位の数をx、一の位の数をyとすると、2けたの正の整数は、10x+yと表すことができる。

 また、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数は、10x+yと表すことができる。

 よって、この2つの数の和は、

 (10x+y)+(10y+x)=11x+11y

            =11(x+y)

 x+yは整数であるので、11(x+y)は11の倍数である。

 よって、2ケタの正の整数と、その数の十の位の数と一の位の数を入れかえてできた数との和は、11の倍数になるといえる。

 解答の流れのポイントは、次の3つです。

(1)問題で問われている数について、文字を使って表す。

   ↓

(2)文字を使って表された数を用いて、計算する。

   ↓

(3)計算結果の文字の部分が、整数であることを使って結論を導く

 式の利用における「式による説明」の問題に、苦手意識をもっている中学生は少なくありません。

 しかし、解答の流れをしっかりつかみさえすれば、ワンパターンの問題でもあります。

 解答の流れをつかめるまでくり返し学習し、パターンをしっかり覚えておきましょう!

楽しそうに勉強する子どもたち

※下のYouTubeにアップした動画でも、「文字式の利用・2ケタの整数」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!
 

②「式による説明」2つの奇数の和の説明

 今度は、次の問題について一緒に考えていきましょう!

「2つの整数がともに奇数であるとき、その和は偶数になります。m、nを整数として、その理由を説明しましょう。」

 この問題に書いてあることが正しいのかどどうか、いくつかの数を使って確かめてみましょう。

 3+7=10

 5+9=14

   11+17=28

 確かに2つの奇数の和は、偶数になっていますね。

 では今回の問題も文字を使って、この理由を説明してみましょう!

勉強を一生懸命している男の子のイラスト

(1)奇数を文字で表す

 それでは、奇数をどうやって文字で表せばよいか考えてみましょう。

 奇数とは”7″や”9″や”15″など、偶数と次の偶数の間の数ですよね。

 つまり、奇数とは以下のように「偶数に1をたした数」であるということができます。

  7=6+1

  9=8+1

  15=14+1

 ところで偶数とは、2の倍数のことでしたね。

 よって偶数は、「2×(整数)」の形で表すことができます。

 ですので、再び先ほど例に挙げた奇数を使うと、

  7=2×3+1

  9=2×4+1

  15=2×7+1

 のような形で表すことができます。

 以上より、奇数の一般的な表し方は、

 奇数 = 偶数+1

        = 2×(整数)+1

 ということがわかりますね。

勉強を一生懸命やっている女の子のイラスト

 ではここからは、文字を使って奇数を表してみましょう。

 問題では、文字mとnを整数として使うことになっていました。

 これらの文字m、nを使って、奇数を表すと、

 2×m+1 = 2m+1

 2×n+1 = 2n+1

 と表されます。

(2)偶数は、2×(整数)で表される

 それでは、文字で表された2つの奇数である” 2m+1”と” 2n+1”の和を計算しましょう。

 (2m+1)+(2n+1)

 = 2m+2n+2

   = 2(m+n+1)

 2つの奇数の和である 2(m+n+1)が、偶数であるかどうかを考えてみましょう。

 mとnは整数であり、1も整数です。

 整数を3つたしても整数なので、”m+n+1”は整数になります。

 つまり、2(m+n+1)は「2×(整数)」になっているので、偶数であると言えますね

楽しそうに勉強して手を挙げている男の子と女の子

(3)「式による説明」模範解答

 これまでの内容をまとめた模範解答は以下の通りです。

 よく読んで、解答の流れをしっかり理解しましょう。

[解答]

 文字m、nを整数とすると、2つの奇数は、

 2m+1、2n+1

 と表すことができる。

 この2つの奇数の和は

 (2m+1)+(2n+1) = 2m+2n+2

           = 2(m+n+1)

 m+n+1は整数なので、2(m+n+1)は偶数である。

 よって、2つの奇数の和は偶数であるといえる。

勉強を頑張る子どもたちに囲まれた先生のイラスト

※下のYouTubeにアップした動画でも、「文字式の利用・奇数と偶数を文字で表す」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!
 

記事のまとめ

 以上、中2数学で学習する「文字式の利用・式による説明」の解き方について、詳しく説明してきました。
 いかがだったでしょうか?
 

・今回の記事のポイントをまとめると…

①2ケタの数を2つの文字で表す方法

② ある数□の倍数は、□×(整数)で表される

偶数は2の倍数なので、2×(整数)で表される

奇数は「偶数+1」なので、2×(整数)+1で表される

 今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。

 これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。

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先生と元気いっぱいの子どもたち

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