今回は、中学3年の数学で学習する「因数分解」について、記事を書いていきたいと思います。
この記事では、
「そもそも因数分解ってなに？」
「展開と因数分解はどう違うの？」
「どの乗法公式で因数分解すればいいの？」
という中学生に、基本からわかりやすく丁寧に解説しています。
基本問題も載せていますので、ぜひご覧下さい。
この記事では、次の5つの内容について詳しく説明しています。
この記事を読んで、因数分解についてしっかり理解しましょう！
①因数分解ってなに？
そもそも「因数分解」とは、何かわかりますか？
一言で言うと…
「たし算の式をかけ算の式にする」
ことです。
これだけだとわかりにくいので、もう少し詳しく説明しましょう。
(x＋3)(x＋8)を展開すると、
(x＋3)(x＋8)
= x2+11x+24
になりますよね。
この計算を逆にすると、
x2+11x+24
= (x＋3)(x＋8)
となります。
このとき、左辺はたし算の式でしたが、右辺は(x＋3)と(x＋8)のかけ算になっています。
このように、たし算の式をかけ算の式にすることを、「因数分解」といいます。
下の図のように、かけ算の式をたし算の式にすることが「展開」、たし算の式をかけ算の式にすることが「因数分解」です。
つまり、「展開」と「因数分解」は逆の関係になっています。
また上の例では、因数分解した結果、(x＋3)と(x＋8)のかけ算になりました。
このように、因数分解してかけて合わされている、(x＋3)と(x＋8)のような式を「因数」といいます。
ここで説明した「因数分解」と「因数」は、重要な語句ですので、しっかり覚えておきましょう！
②共通因数をとり出す因数分解
ここでは、「共通因数」という因数をとり出してできる「因数分解」について説明していきます。
まず、「分配法則」についておさらいしておきましょう。
5(a＋b)という式においてカッコを外す場合、カッコにかけられている5をカッコ内のaとbのそれぞれにかけて、
5(a＋b) = a×5＋b×5
= 5a＋5b
となります。
このような計算を、「分配法則」を使って計算するといいましたね。
分配法則を使ったこの計算を逆にすると、
5a＋5b = 5(a＋b)
となります。
この計算を見て気づいた人もいると思いますが、左辺のたし算の式が右辺でかけ算の式になっています。
つまり、「因数分解」していることになりますね。
この式では、aとbのそれぞれに5がかけてあり、その5をとり出して因数分解しています。
このように、同じ数や文字がかけられているたし算では、その共通してかけられている数や文字をとり出し、因数分解することができます。
また、共通してかけられている数や文字を「共通因数」といいます。
それでは、共通因数をとり出す因数分解の練習問題をやってみましょう。
(1) ab＋5a
(2) 7a−21b
(3) 2x2＋4xy
解答・解説は以下の通りになります。
(1)のab＋5aは、abはa×b、5aは5×aであり、それぞれに文字aがかけられているので、aを共通因数として因数分解することができます。
よって、
ab＋5a = a(b＋5)
(2)の7a−21bは、一見すると共通因数がないように見えます。
しかし、bにかけられている21は7の倍数であり、21は7×3と表せます。
7aは7×a、21bは7×3×bであり、それぞれに7がかけられているので、7を共通因数として因数分解することができます。
よって、
7a−21b = 7(a−3b)
(3)の2x2＋4xyの共通因数として、xをとり出すことができますね。
さらに、xyにかけられている4は、x2にかけられている2の倍数であり、2×2と表せます。
2 x2は2×x×x、4xyは2×2×x×yであり、それぞれに2とxがかけられているので、2xを共通因数として因数分解することができます。
よって、
2x2＋4xy = 2x(x＋2y)
※YouTubeに「共通因数をとり出す因数分解」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
③乗法公式(a＋b)(a−b)を使う因数分解
ここでは、乗法公式(a＋b)(a−b)を使う因数分解について、説明していきます。
乗法公式(a＋b)(a−b)を、記号を使って(□＋△)(□−△)と表しますね。
まず、乗法公式(□＋△)(□−△)を使った展開をおさらいしておきましょう。
(□＋△)(□−△)=□2−△2でしたよね。
この公式を使って、下の例を展開すると、
(x＋7)(x－7) = x2－49
となります。
次にこの計算を逆にすると、
x2－49 = (x＋7)(x－7)
となります。
つまり、□2−△2のような2乗どうしのひき算は、
□2−△2=(□＋△)(□−△)
と、因数分解することができます。
このパターンの因数分解について、例を挙げてみましょう。
・a2−9
上の式において、9は32ですよね。
つまり、□2−△2の形になっているので、
a2−9 = a2−32
= (a＋3)(a−3)
と因数分解することができます。
それでは、乗法公式(□＋△)(□−△)を使う因数分解の練習問題をやってみましょう。
(1) x2－36y2
(2) 25x2－9y2
解答・解説は以下の通りになります。
(1)のx2－36y2において、36y2は6yを2乗しています。
よって、
x2－36y2
= x2－(6y)2
= (x＋6y)(x－6y)
(2)の25x2－9y2において、25x2は5xを２乗しており、36y2は6yを2乗しています。
よって、
25x2－9y2
= (5x)2－(3y)2
= (5x＋3y)(5x－3y)
※YouTubeに「乗法公式(a+b)(a－b)を使う因数分解」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
【動画】中3数学「因数分解・乗法公式(a＋b)(a－b)を使う因数分解」
④乗法公式(a+b)2と(a−b)2を使う因数分解
ここでは、乗法公式(a+b)2と(a−b)2を使う因数を使う因数分解について、説明していきます。
乗法公式(a+b)2と(a−b)2を、記号を使って(□＋△)2と(□−△)2と表しますね。
まず、乗法公式(□＋△)2と(□−△)2を使った展開をおさらいしておきましょう。
(□＋△)2=□2＋2□△＋△2
(□−△)2=□2－2□△＋△2
これらの公式を使って、下の例を展開すると、
(x＋7)2 = x2＋14x＋49
(x－7)2 = x2－14x＋49
となります。
次にこれらの計算を逆にすると、
x2＋14x＋49 = (x＋7)2
x2－14x＋49 = (x－7)2
となります。
つまり、”□2＋2□△＋△2”と”□2－2□△＋△2”のような形の式は、
□2＋2□△＋△2=(□＋△)2
□2－2□△＋△2=(□−△)2
と、因数分解することができます。
このパターンの因数分解について、例を挙げてみましょう。
・a2＋10a＋25
上の式において、25は52ですよね。
また10aは、aと5をかけた5aの２倍になっています。
つまり、□2＋2□△＋△2の形になっているので、
a2＋10a＋25
= a2＋5a×2＋52
= (a＋5)2
と因数分解することができます。
同じように、次の例について見ていくと…、
・a2－10a＋25
上の式において、25は(－5)2ですよね。
また－10aは、aと－5をかけた－5aの２倍になっています。
つまり、□2－2□△＋△2の形になっているので、
a2－10a＋25
= a2－5a×2＋(－5)2
= (a−5)2
と因数分解することができます。
それでは、乗法公式(□＋△)2と(□−△)2を使う因数分解の練習問題をやってみましょう。
(1) x2－14x＋49
(2) 25a2＋30a＋9
(3) 16x2－24xy＋9y2
解答・解説は以下の通りになります。
(1)のx2－14x＋49において、49は(－7)2で、－14xはxと－7をかけた－7xの２倍になっています。
よって、
x2－14x＋49
= x2－7x×2＋(－7)2
= (x－7) 2
(2)の25a2＋30a＋9において、25a2は5aの２乗で、9は32です。
また、30aは5aと3をかけた15aの２倍になっています。
よって、
25a2＋30a＋9
= (5a)2＋15a×2＋32
= (5a＋3) 2
(3)の16x2－24xy＋9y2において、16x2は4xの２乗で、9 y2は－3yの２乗です。
また、－24xyは4xと－3yをかけた－12xyの２倍になっています。
よって、
16x2－24xy＋9y2
= (4x)2－12xy×2＋(－3y)2
= (4x－3y) 2
※YouTubeに「乗法公式(a+b)²と(a−b)²を使う因数分解」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
【動画】中3数学「因数分解・乗法公式(a＋b)²と(a－b)²を使う因数分解」
⑤乗法公式(x＋a)(x＋b)を使う因数分解
ここでは、乗法公式(x＋a)(x＋b)を使う因数分解について、説明していきます。
乗法公式(x＋a)(x＋b)を、記号を使って(x＋□)(x＋△)と表しますね。
まず、乗法公式(x＋□)(x＋△)を使った展開をおさらいしておきましょう。
(x＋□)(x＋△)
=x2＋(□＋△)x＋□△
でしたよね。
この公式を使って、下の例を展開すると、
(x＋3)(x＋5)
= x2＋8x＋15
となります。
次にこの計算を逆にすると、
x2＋8x＋15 = (x＋3)(x＋5)
となります。
つまり、x2＋(□＋△)x＋□△のような式は、
x2＋(□＋△)x＋□△
= (x＋□)(x＋△)
と、因数分解することができます。
このパターンの因数分解について、例を挙げてみましょう。
・x2＋9x＋20
まず、かけ合わせて20になる数の組合せを考えてみましょう。
1×20
2×10
4×5
が挙げられますね。
次にこの組み合わせの中で、たし合わせると9xの係数である9になるものを考えると…
4＋5=9
ですよね。
つまり、
x2＋9x＋20
= x2＋(4＋5)x＋4×5
上の式は、x2＋(□＋△)x＋□△の形になっているので、
x2＋9x＋20
= x2＋(4＋5)x＋4×5
= (x＋4)(x＋5)
と因数分解することができます。
それでは、乗法公式(x＋□)(x＋△)を使う因数分解の練習問題をやってみましょう。
(1) x2＋15x＋56
(2) x2＋2x−35
(3) x2－10x＋21
(1)のx2＋15x＋56において、かけ合わせて56になる数の組合せとして、
1×56
2×28
4×14
7×8
が挙げられます。
この組み合わせの中で、たし合わせると15xの係数である15になるものは、
7＋8=15
です。
よって、
x2＋15x＋56
= x2＋(7＋8)x＋7×8
= (x＋7)(x＋8)
(2)のx2＋2x−35において、かけ合わせて－35になる数の組合せとして、
－1×35
－5×7
－7×5
－35×1
が挙げられます。
この組み合わせの中で、たし合わせると2xの係数である2になるものは、
－5＋7=2
です。
よって、
x2＋2x−35
= x2＋(－5＋7)x＋(－5)×7
= (x－5)(x＋7)
(3)のx2－10x＋21において、かけ合わせて－35になる数の組合せとして、
1×21
3×7
－1×(－21)
－3×(－7)
が挙げられます。
この組み合わせの中で、たし合わせると−10xの係数である−10になるものは、
－3＋(－7)=－10
です。
よって、
x2－10x＋21
= x2＋{－3＋(－7)}x＋(－3)×(－7)
= (x－3)(x－7)
※YouTubeに「乗法公式(x+a)(x+b)を使う因数分解」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
【動画】中3数学「因数分解・乗法公式(x＋a)(x＋b)を使う因数分解」
記事のまとめ
つづいて、4つの乗法公式を使った因数分解についてまとめてみましょう。
① □2−△2=(□+△)(□−△)
② □2+2□△+△2= (□+△)2
③ □2－2□△+△2= (□－△)2
④ (x+□)(x+△)= x2+(□+△)x+□△
特に④の乗法公式を使う因数分解のパターンは、後に学習する「二次方程式」を解くために必要になってきます。
くり返し練習して、しっかり身に付けておきましょう！
今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。
これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。
ご意見・ご感想、質問などございましたら、下のコメント欄にてお願いします。