中3数学「因数分解」必ず解ける!5つのポイント

0~9までの数字が載っている画像

 今回は、中学3年の数学で学習する「因数分解」について、記事を書いていきたいと思います。

 この記事では、

 「そもそも因数分解ってなに?」

 「展開と因数分解はどう違うの?」

 「どの乗法公式で因数分解すればいいの?」

 という中学生に、基本からわかりやすく丁寧に解説しています。

 基本問題も載せていますので、ぜひご覧下さい。

 この記事では、次の5つの内容について詳しく説明しています。

 因数分解ってなに?

 ② 共通因数をとり出す因数分解

 乗法公式(a+b)(a−b)を使う因数分解

 ④ 乗法公式(a+b)2と(a−b)2を使う因数分解

 ⑤ 乗法公式(x+a)(x+b)を使う因数分解

 この記事を読んで、因数分解についてしっかり理解しましょう!

先生と元気いっぱいの子どもたち

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①因数分解ってなに?

 そもそも「因数分解」とは、何かわかりますか?

 一言で言うと…

 たし算の式をかけ算の式にする

 ことです。

 これだけだとわかりにくいので、もう少し詳しく説明しましょう。

 (x+3)(x+8)を展開すると、

 (x+3)(x+8)

 = x2+11x+24

 になりますよね。

 この計算を逆にすると、

 x2+11x+24

 = (x+3)(x+8)

 となります。

 このとき、左辺はたし算の式でしたが、右辺は(x+3)と(x+8)かけ算になっています。

 このように、たし算の式をかけ算の式にすることを、「因数分解といいます。

 下の図のように、かけ算の式をたし算の式にすることが「展開たし算の式をかけ算の式にすることが「因数分解です。

     展開と因数分解が逆の関係であることを説明している図

 つまり、「展開」と「因数分解」逆の関係になっています。

 また上の例では、因数分解した結果、(x+3)と(x+8)のかけ算になりました。

 このように、因数分解してかけて合わされている、(x+3)と(x+8)のような式を「因数」といいます。

 ここで説明した「因数分解」と「因数」は、重要な語句ですので、しっかり覚えておきましょう!

一生懸命、勉強している男の子


②共通因数をとり出す因数分解

 ここでは、共通因数」という因数をとり出してできる「因数分解」について説明していきます。

 まず、分配法則」についておさらいしておきましょう。

 5(a+b)という式においてカッコを外す場合、カッコにかけられている5をカッコ内のaとbのそれぞれにかけて

 5(a+b) = a×5+b×5

               = 5a+5b

 となります。

 このような計算を、「分配法則」を使って計算するといいましたね。

 分配法則を使ったこの計算を逆にすると、

 5a+5b = 5(a+b)

 となります。

 この計算を見て気づいた人もいると思いますが、左辺のたし算の式が右辺でかけ算の式になっています。

 つまり、因数分解」していることになりますね。

 この式では、aとbのそれぞれに5がかけてあり、その5をとり出して因数分解しています。

 このように、同じ数や文字がかけられているたし算では、その共通してかけられている数や文字をとり出し、因数分解することができます。

 また、共通してかけられている数や文字を「共通因数」といいます。

一生懸命、勉強している女の子

 それでは、共通因数をとり出す因数分解の練習問題をやってみましょう。

 (1) ab+5a

 (2) 7a−21b

 (3) 2x2+4xy

 解答・解説は以下の通りになります。

 (1)のab+5aは、abはa×b、5aは5×aであり、それぞれに文字aがかけられているので、aを共通因数として因数分解することができます。

 よって、

 ab+5a = a(b+5)

 (2)の7a−21bは、一見すると共通因数がないように見えます。

 しかし、bにかけられている21は7の倍数であり、21は7×3と表せます。

 7aは7×a、21bは7×3×bであり、それぞれに7がかけられているので、7を共通因数として因数分解することができます。

 よって、

 7a−21b = 7(a−3b)

 (3)の2x2+4xy共通因数として、xをとり出すことができますね。

 さらに、xyにかけられている4は、x2にかけられている2の倍数であり、2×2と表せます。

 2 x2x×x、4xyは2×2×x×yであり、それぞれに2とxがかけられているので、2xを共通因数として因数分解することができます。

 よって、

 2 x2+4xy = 2x(x+2y)

楽しそうに勉強する子どもたち

※下のYouTubeにアップした動画でも、「共通因数をとり出す因数分解」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!
 

③乗法公式(a+b)(a−b)を使う因数分解

 ここでは、乗法公式(a+b)(a−b)を使う因数分解について、説明していきます。

 乗法公式(a+b)(a−b)を、記号を使って(□+△)(□−△)と表しますね。

 まず、乗法公式(□+△)(□−△)を使った展開をおさらいしておきましょう。

 (□+△)(□−△)=□2−△2でしたよね。

 この公式を使って、下の例を展開すると、

 (x+7)(x-7) = x2-49

 となります。

 次にこの計算を逆にすると、

 x2-49 = (x+7)(x-7)

 となります。

 つまり、2−△2のような2乗どうしのひき算は、

 2−△2=(□+△)(□−△)

 と、因数分解することができます。

 このパターンの因数分解について、例を挙げてみましょう。

 ・a2−9

 上の式において、9は32ですよね。

 つまり、2−△2の形になっているので、

 a2−9 = a2−32

            = (a+3)(a−3)

 と因数分解することができます。

勉強を一生懸命している男の子のイラスト

 それでは、乗法公式(□+△)(□−△)を使う因数分解の練習問題をやってみましょう。

 (1) x2-36y2

 (2) 25x2-9y2

 解答・解説は以下の通りになります。

  (1)のx2-36y2において、36y26yを2乗しています。

 よって、

  x2-36y2

    = x2-(6y)2

    = (x+6y)(x-6y)

 (2)の25x2-9y2において、25x25xを2乗しており、36y26yを2乗しています。

 よって、

 25x2-9y2

   = (5x)2-(3y)2

   = (5x+3y)(5x-3y)

 勉強を一生懸命やっている女の子のイラスト

※下のYouTubeにアップした動画でも、「乗法公式(a+b)(a-b)を使う因数分解」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!
 

④乗法公式(a+b)2と(a−b)2を使う因数分解

 ここでは、乗法公式(a+b)2と(a−b)2を使う因数を使う因数分解について、説明していきます。

 乗法公式(a+b)2と(a−b)2を、記号を使って(□+△)2と(□−△)2と表しますね。

 まず、乗法公式(□+△)2と(□−△)2を使った展開をおさらいしておきましょう。

 (□+△)2=□2+2□△+△2

 (□−△)2=□2-2□△+△2

 これらの公式を使って、下の例を展開すると、

  (x+7)2 = x2+14x+49

  (x-7)2 = x2-14x+49

 となります。

 次にこれらの計算を逆にすると、

 x2+14x+49 = (x+7)2

   x2-14x+49 = (x-7)2

 となります。

 つまり、2+2□△+△2”と”2-2□△+△2”のような形の式は、

 2+2□△+△2=(□+△)2

 2-2□△+△2=(□−△)2

 と、因数分解することができます。

楽しそうに勉強している男の子のイラスト

 このパターンの因数分解について、例を挙げてみましょう。

 ・a2+10a+25

 上の式において、25は52ですよね。

 また10aは、aと5をかけた5aの2倍になっています。

 つまり、2+2□△+△2の形になっているので、

 a2+10a+25

   = a2+5a×2+52

   = (a+5)2

 と因数分解することができます。

 同じように、次の例について見ていくと…、

 ・a2-10a+25

 上の式において、25は(-5)2ですよね。

 また-10aは、aと-5をかけた-5aの2倍になっています。

 つまり、2-2□△+△2の形になっているので、

 a2-10a+25

   = a2-5a×2+(-5)2

   = (a−5)2

 と因数分解することができます。

頑張って楽しそうに勉強している女の子

 それでは、乗法公式(□+△)2と(□−△)2を使う因数分解の練習問題をやってみましょう。

 (1) x2-14x+49

 (2) 25a2+30a+9

 (3) 16x2-24xy+9y2

 解答・解説は以下の通りになります。

 (1)のx2-14x+49において、49は(-7)2で、-14xはxと-7をかけた-7xの2倍になっています。

 よって、

 x2-14x+49

   = x2-7x×2+(-7)2

   = (x-7) 2

 (2)の25a2+30a+9において、25a25aの2乗で、9は32です。

 また、30aは5aと3をかけた15aの2倍になっています。

 よって、

 25a2+30a+9

    = (5a)2+15a×2+32

    = (5a+3) 2

 (3)の16x2-24xy+9y2において、16x24xの2乗で、9 y2-3yの2乗です。

 また、-24xyは4xと-3yをかけた-12xyの2倍になっています。

 よって、

  16x2-24xy+9y2

  = (4x)2-12xy×2+(-3y)2

  = (4x-3y) 2

勉強を頑張る子どもたちに囲まれた先生のイラスト

※下のYouTubeにアップした動画でも、「乗法公式(a+b)²と(a-b)²を使う因数分解」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!
 

 ⑤乗法公式(x+a)(x+b)を使う因数分解

 ここでは、乗法公式(x+a)(x+b)を使う因数分解について、説明していきます。

 乗法公式(x+a)(x+b)を、記号を使って(x+□)(x+△)と表しますね。

 まず、乗法公式(x+□)(x+△)を使った展開をおさらいしておきましょう。

 (x+□)(x+△)

   =x2+(□+△)x+□△

 でしたよね。

 この公式を使って、下の例を展開すると、

 (x+3)(x+5)

   = x2+8x+15

 となります。

 次にこの計算を逆にすると、

  x2+8x+15 = (x+3)(x+5)

 となります。

 つまり、x2+(□+△)x+□△のような式は、

 x2+(□+△)x+□△

  = (x+□)(x+△)

 と、因数分解することができます。

一生懸命、数学の問題を解いている男の子のイラスト

 このパターンの因数分解について、例を挙げてみましょう。

 ・x2+9x+20

 まず、かけ合わせて20になる数の組合せを考えてみましょう。

  1×20

      2×10

      4×5

 が挙げられますね。

 次にこの組み合わせの中で、たし合わせると9xの係数である9になるものを考えると…

  4+5=9

 ですよね。

 つまり、

 x2+9x+20

   = x2(4+5)x+4×5

 上の式は、x2+(□+△)x+□△の形になっているので、

 x2+9x+20

   = x2+(4+5)x+4×5

   = (x+4)(x+5)

 と因数分解することができます。

一生懸命勉強している男の子のイラスト

 それでは、乗法公式(x+□)(x+△)を使う因数分解の練習問題をやってみましょう。

 (1) x2+15x+56

 (2) x2+2x−35

 (3) x2-10x+21

 (1)のx2+15x+56において、かけ合わせて56になる数の組合せとして、

  1×56

  2×28

    4×14

    7×8

 が挙げられます。

 この組み合わせの中で、たし合わせると15xの係数である15になるものは、

  7+8=15

 です。

 よって、

 x2+15x+56

   = x2+(7+8)x+7×8

   = (x+7)(x+8)

 (2)のx2+2x−35において、かけ合わせて-35になる数の組合せとして、

  -1×35

  -5×7

   -7×5

   -35×1

 が挙げられます。

 この組み合わせの中で、たし合わせると2xの係数である2になるものは、

  -5+7=2

 です。

 よって、

 x2+2x−35

 = x2+(-5+7)x+(-5)×7

 = (x-5)(x+7)

 (3)のx2-10x+21において、かけ合わせて-35になる数の組合せとして、

     1×21

     3×7

    -1×(-21)

  -3×(-7)

 が挙げられます。

 この組み合わせの中で、たし合わせると−10xの係数である−10になるものは、

  -3+(-7)=-10

 です。

 よって、

  x2-10x+21

  = x2+{-3+(-7)}x+(-3)×(-7)

  = (x-3)(x-7)

楽しそうに勉強して手を挙げている男の子と女の子

※下のYouTubeにアップした動画でも、「乗法公式(x+a)(x+b)を使う因数分解」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!