中2数学「一次関数」”変化の割合”はこれで完璧!

グラフのイラスト

 今回は、中学2年の単元である「一次関数」で学習する「変化の割合」について、記事を書いていきたいと思います。

 中学1年で学習した「比例・反比例」を忘れたという中学生は、学習の前にコチラで復習しておいてください!→中1比例・反比例の記事一覧

 今回の記事では、

「変化の割合ってなに?」

「変化の割合の求め方がよくわからない」

「yの増加量を求める問題がよくわからない」

 という中学生に、基本的な例題をもとにわかりやすく丁寧に解説しています。

 この記事では、「変化の割合」について、以下の5つのポイントを詳しく説明しています。

「変化の割合」ってなに?

「変化の割合」の求め方

「一次関数」と「変化の割合」の関係

「yの増加量」の求め方

「変化の割合」練習問題

 この記事を読んで、「変化の割合」について、しっかり理解しましょう!

先生と元気いっぱいの子どもたち

①「変化の割合」ってなに?

 そもそも「変化の割合」って、何かわかりますか?

 一言で言うと…、

「変化の割合」とは、が1増えるときのの増える量(増加量)

 のことです。

 これだけでは、何のことかよくわからないですよね…(^^;

 ですので、次の「変化の割合」の求め方の解説を通して、より具体的に説明します。

 今はとりあえず「変化の割合」とは「が1増えるときのの増える量(増加量)ということだけ頭に入れておいてください。

一生懸命、勉強している男の子


②「変化の割合」の求め方

 それでは「変化の割合」の求め方について見ていきましょう。

 一次関数 y=2x+1で、xの値が2から5に増えたときの「変化の割合」を求めてみたいと思います。

 x=2のとき、y=5

 x=5のとき、y=11

 ですので、下の表のようになります。

 変化の割合のを説明するためのxとyの値が書き込まれた表➀

 このとき表にかき込んである通り、xの値は2から5に増えるので、「xの増加量」は+3になります。

 一方、yの値は5から11に増えるので、yの増加量」は+6になります。

 ここでもう一度「変化の割合」は何だったか思い出すと…、

「変化の割合」とは、が1増えるときのの増える量(増加量)

 でしたよね。

 この問題では、xが+3増えて、yが+6増えています。

 では、xが1増えたらyはどれだけ増えるでしょうか?

 yの増加量である+6を、xの増加量+3で割れば求めることができますよね。

 ということは…、

  :

 そう!! xが1増えたらyは2増えますよね。

 よって一次関数 y=2x+1で、xの値が2から5に増えたときの変化の割合は”2″ということになります。

 上で求めたように、「変化の割合」は

  変化の割合=yの増加量/xの増加量

 で求めることができます。

 xが1増えたときのyの増加量が「変化の割合」なので、「yの増加量」を「xの増加量」で割ると「変化の割合」を求めることができます。

 求める式を丸暗記するのではなく、理屈もしっかり覚えておきましょうね!
一生懸命、勉強している女の子

 では変化の割合を求める練習をしておきましょう。

 一次関数 y=3x+5で、xの値が1から4まで変わるときの変化の割合を求めましょう。

 x=1のとき、y=8

 x=4のとき、y=17

 ですので、下の表のようになります。

  変化の割合のを説明するためのxとyの値が書き込まれた表②

 表に書いてある通り、xの増加量は+3でyの増加量は+9ですので、

  9÷3=3

 よって変化の割合は”3″ということになります。

楽しそうに勉強する子どもたち


③「一次関数」と「変化の割合」の関係

 ここからは、「一次関数」と「変化の割合」の関係について詳しく説明していきたいと思います。

 ②「『変化の割合』の求め方」にて、2つの一次関数について「変化の割合」を求めましたね。

 もう一度思い出してほしいのですが、

 一次関数 y=2x+1で、xの値が2から5まで変わるときの「変化の割合」は”2″でした。

 また一次関数 y=3x+5で、xの値が1から4まで変わるときの「変化の割合」は”3″でした。

 ここから何か気付くことはありませんか?

  :

 そう、一次関数 y=ax+bの”a”の値と、「変化の割合」の値同じになっていますよね!

一次関数において「変化の割合」は、

①「変化の割合」は一定である。

②「変化の割合」は、 y=ax+bの”a”に等しくなる。

 という2つのことが言えるのです。

 なぜ以上2つのことが言えるのかを、簡単に説明したいと思います。

 まず一次関数 y=4x+3について、下の表をご覧下さい。

 変化の割合のを説明するためのxとyの値が書き込まれた表③

 ご覧の通り、xが1増えるごとに、yはy=ax+bの“a”の値である”4″ずつ増えています。

 つまり一次関数y=ax+bでは、xが1増えるとyの値は”a”ずつ増える」ということです。

 なので、一次関数における変化の割合は一定であり、一次関数における変化の割合は”a”と等しくなります。

楽しそうに勉強している男の子のイラスト


④「yの増加量」の求め方

 ここでは「yの増加量」を求める問題について、説明していきたいと思います。

 次のような問題を考えてみましょう!

一次関数 y=3x-2で、xの増加量が5のとき、yの増加量を求めましょう。」

  yの増加量を求めるためのxとyの表

 上の表のように、xが+5増えるとき、yはいくつ増えるか求める問題です。

 ここで、y=3x-2であることから、変化の割合が”3″であることがわかりますよね。

 変化の割合が”3″ということは、xが”1″増えると、yが”3″増えるということです。

 つまり「xが”1″増えると、yが”3″増える」とき、xが”5″増えたら、yはどれだけ増えるか」を求める問題なのです。

  yの増加量を求めるための図

 上の図も参考にして欲しいのですが、「yの増加量」を求めたいのなら、+3を5倍すればいいですよね。

 よって、yの増加量は”15″になります。

 この問題において、「yの増加量」は「変化の割合」である”3″に「xの増加量」である”5″をかけることで求めることができました。

 つまり「yの増加量」は、

 yの増加量=変化の割合×xの増加量

 で求めることができます。

 yの増加量を求めるこの式も、ただ丸暗記するのではなく、理屈をしっかり覚えておきましょう。

頑張って楽しそうに勉強している女の子


⑤「変化の割合」練習問題

 では最後に、この記事で学習したことを次の問題で練習してみましょう。

<練習問題>

一次関数 y=5x+2について、次の問題に答えましょう。

➀、xが2から6に変化したときの、変化の割合を求めましょう。

②、xの増加量が”7″のときの、yの増加量を求めましょう。

➀の解答・解説

 一次関数において変化の割合はy=ax+bの”a”なので、答えは”5″になります。

 ですが、ここではあえてxが2から6に変化するときの、xとyの増加量を求めてから、変化の割合を求めてみましょう。

 x=2のとき、y=12

 x=6のとき、y=32

 よって、下の表のとおりになります。

 変化の割合を求める問題を説明するためのxとyの表

 xが2から6に変化するとき、xの増加量は+4。

 一方、yが12から32に変化するとき、yの増加量は+20。

 変化の割合は、「yの増加量」を「xの増加量」で割れば求めることができたので、

 20÷4=5

 よって、xが2から6に変化するときの変化の割合は”5″。

勉強を一生懸命している男の子のイラスト

②の解答・解説

 一次関数 y=5x+2なので、変化の割合は常に”5″になります。

 つまり、xの増加量が”1″のとき、yの増加量は”5″ということです。

 では、xの増加量が”7″のとき、yの増加量はどれだけでしょうか?

 yの増加量を求める問題の説明するためのxとyの表

「xが”1″増えると、yが”5″増える」とき、xが”7″増えたら、yはどれだけ増えるか」を求める問題と考えると、

 yの増加量を求める問題の説明するための図

 上の図の通り、変化の割合でもある”+5″に7をかけると「yの増加量」を求めることができます。

 よって、

 5×7=35

 なので、xの増加量が”7″のとき、yの増加量は”35″となります。

勉強を一生懸命やっている女の子のイラスト


記事のまとめ

 以上、中2数学で学習する「変化の割合」について、詳しく説明してきました。
 いかがだったでしょうか?
 

・今回の記事のポイントをまとめると…

①「変化の割合」とは、xが”1″増えるときの「yの増加量」のこと

②「変化の割合」は「yの増加量」を「xの増加量」で割ると求めることができる

③一次関数 y=ax+bでは、変化の割合は一定である。

④一次関数 y=ax+bでは、変化の割合は”a”と等しくなる。

⑤「yの増加量」は、[変化の割合]×[xの増加量]で求めることができる

 今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。

 これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。

 ご意見・ご感想、質問などございましたら、下のコメント欄にてお願いします。

先生と元気いっぱいの子どもたち