中1数学「比例・反比例」比例・反比例のグラフのかき方 教えます!

0~9までの数字のカードが並んでいる画像

 今回も引き続き、中学1年の数学で学習する「比例・反比例」について、記事を書いていきたいと思います。

 前回は関数と比例・反比例ってなに?という記事をアップしました。

 今回は、比例・反比例のグラフのかき方について、

 「グラフって、どうかいていいかわからない」

 「反比例のグラフが難しい」

 という中学生に、基本からわかりやすく丁寧に解説しています。

 この記事では、次の3つの内容について詳しく説明しています。

「座標」の表し方について

「比例のグラフ」のかき方について

「反比例のグラフ」のかき方について

先生と元気いっぱいの子どもたち

①「座標」の表し方について

 平面上に比例や反比例のグラフをかくために、まず平面上の点の位置を表す方法を考えましょう。

 下の図のような、点Oで垂直に交わる2つの数直線を使うと、平面上の位置を表すことができます。座標平面を説明するための図

 図の横の数直線のことを「x軸いいます。

 同じく、縦の数直線を「y軸といいます。

 そして「x軸」「y軸」を合わせて、「座標軸といいます。

 さらに、x軸とy軸の交点Oを「原点といいます。

 では次の図の、点Aの位置を表してみましょう。座標平面上の点の座標を説明するための図

 点Aは、x軸上の+4と、y軸上の+2の位置にあります

 この時、点Aの位置を(4、2)と表し、これを点Aの座標といいます。

 このように点の座標を(□、△)と表したとき、xの値である□をx座標、yの値である△をy座標といいます。

 下の画像に、座標についての問題を載せています。

 ぜひチャレンジしてみて下さい!

座標についての問題が載っている画像

 問題の解答は、以下の通りです。

座標についての問題の解答が載っている画像

 「座標」となにか、イメージはつかめましたか?

 これから先は、比例と反比例のグラフのかき方について詳しく説明しています。

 「座標」をしっかり理解してから、読み進めて下さいね!

※下のYouTubeにアップした動画で、「グラフと座標」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!


②「比例のグラフ」のかき方について

 それでは、比例の式をグラフにする方法を見ていきましょう!

 比例のグラフのかき方には、2つの方法があります。

 1つは、比例の式から表を作成し、表をもとにグラフをかく方法。

 もう1つは、まず比例の式から1組のxとyの値の組合せを求めて点をかき込みます。

 そして、その1点と原点を直線で結びグラフをかくという方法です。

楽しそうに勉強する子どもたち

(ⅰ)表から比例のグラフをかく方法

 「比例の式→表→グラフ」という流れで説明していきたいと思います。

 まず、比例の式”y=2xを表にしてみましょう。

  比例の式を表にした図

 上のような表になりますよね。

 この表のxyの組合せを、座標平面上に点としてかき込んでみましょう。

 x=1、y=2という組み合わせなら、点(1、2)

 x=2、y=4という組み合わせなら、点(2、4)

 というような感じでやっていくと…、 下の図のようになります。

比例のグラフのかき方を説明した図①

 これらの点を直線で結べば、下の図のように比例のグラフをかくことができます。比例のグラフのかき方を説明した図②

 以上のように、表のxyの値の組合せを1組ずつ点にしてかき込み、それらの点を直線で結べば比例のグラフをかくことができます。

一生懸命、勉強している男の子

(ⅱ)グラフ上の1点と原点を直線で結び、グラフをかく方法

 最初の方法では、グラフ上の点をいくつもかき込み、それらの点を結んでグラフをかきました。

 しかし実は、グラフ上の点が1点だけわかっていれば、比例のグラフをかくことができるのです。

 なぜならば、

 ①比例のグラフは原点O(0、0)を必ず通る

 ②2つの点が決まれば、それらの点を通る直線は1つに決まる

 からです。

 もう少し詳しく説明をしましょう。

 ①について、比例の式”y=ax”x=0を代入すれば必ずy=0になりますよね。

 このことから、比例のグラフも必ず原点(0、0)を通ることがわかります。

 ②については、下の図を見て下さい。

    1つの点を通る直線は無数にあるが、2つの点を通る直線は1つに決まることを説明した図

 1つの点だけを通る直線は、無数に引くことができます

 しかし2つの点が決まれば、それらの点を通る直線は必ず1つに決まることがわかりますね。

一生懸命、勉強している女の子

 それでは具体的に、y=3xのグラフをかいてみましょう。

 まず、1組のxyの値を求める必要がありますので、例としてx=2、y=6という組合せを考えてみます。

 この場合、この比例の式のグラフは、点(2、6)と原点O(0、0)を通る直線になります。

 よって、この2つの点を結んだ直線比例のグラフにります。

比例の式から比例のグラフをかく方法を説明した図

 この2つの点を直線で結び、比例のグラフをかいたのが下の図になります。
比例の式から比例のグラフをかく方法を説明した図②

比例の式から比例のグラフをかく手順をもう1度おさらいすると…、

① 比例の式をもとに1組のxyの値を求める。

    ↓

② ①で求めた値をもとに、座標平面上に点をかき込む

    ↓

③ ②の点と原点を直線で結ぶ。

勉強を頑張る子どもたちに囲まれた先生のイラスト

 ここでは「比例のグラフのかき方」ついて、詳しく学習しました。

 まだ理解が十分ではないようでしたら、もう1度復習をしたうえで、次の「反比例のグラフのかき方」へ進んで下さい。

※下のYouTubeにアップした動画で、「比例のグラフのかき方」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!


③「反比例のグラフ」のかき方について

 それでは次に、反比例の式をグラフにする方法を見ていきましょう!

x軸とy軸がかかれた黒板のイラスト

(ⅰ)反比例のグラフのかき方

 反比例の式から表を作成し、表をもとにグラフをかく方法について詳しく説明していきます。

 「反比例の式→表→グラフ」という流れで説明していきます。

 次の反比例の式

  y=12/x

 を表にしてみましょう。

 すると、このような表になりますよね。

  反比例の式をもとに作成したxとyの値についての表

 この表のxyの組合せを、座標平面上に点としてかき込んでみましょう。

 x=2、y=6という組み合わせなら、点(2、6)

 x=3、y=4という組み合わせなら、点(3、4)

 さらにx<0つまりxが負の値の場合も、同じように点をかき込んでいくと、

 x=-2、y=-6という組み合わせなら、点(-2、-6)

 x=-3、y=-4という組み合わせなら、点(-3、-4)

 というような感じでやっていくと…、下の図のようになったと思います。反比例のグラフのかき方を説明した図①

 これらの点を曲線で結べば、下の図のように反比例のグラフをかくことがでます。反比例のグラフのかき方を説明した図②

 反比例のグラフは、原点に対して点対称となる2つの曲線で表されます。

 これを「双曲線」といいます。

 片方の曲線だけを解答してしまう中学生が多いので、両方の曲線をかくよう注意しましょう!

楽しそうに勉強している男の子のイラスト

(ⅱ)a<0のときの反比例のグラフのかき方

 次にa<0、つまり比例定数aが負の場合を考えてみます。

 次の反比例の式

  y=-12/x

 を表にしてみましょう。

 下のような表になりますよね。

   反比例の式のxとyの値を表にした図

 この表の、xyの組合せを、座標平面上に点としてかき込んでみましょう。

 x=2、y=-6という組み合わせなら、点(2、-6)

 x=3、y=-4という組み合わせなら、点(3、-4)

 さらにx<0つまりxが負の値の場合も、同じように点をかき込んでいくと、

 x=-2、y=6という組み合わせなら、点(-2、6)

 x=-3、y=4という組み合わせなら、点(-3、4)

 というような感じでやっていくと…、下の図のようになったと思います。反比例のグラフのかき方を説明するための図➀

 これらの点を曲線で結べば、下の図のように反比例のグラフをかくことがでます。反比例のグラフのかき方を説明するための図②

 最初に説明した反比例のグラフと違い、a<0つまり比例定数aが負の場合は、双曲線が左上と右下にできていますね。

頑張って楽しそうに勉強している女の子

 反比例のグラフについて、比例定数が正の数の場合と負の数の場合との違いを、図でまとめると下のようになります。

反比例のグラフが双曲線を説明する図

 ここでは「反比例のグラフのかき方」について学習しました。

 まだ理解が十分ではないようでしたら、しっかり復習しておきましょう!

楽しそうに勉強して手を挙げている男の子と女の子

※下のYouTubeにアップした動画で、「反比例のグラフのかき方」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧下さい!
 
 
 

記事のまとめ

 以上、中1数学で学習する「座標」、「比例と反比例のグラフ」について詳しく説明してきました。
 いかがだったでしょうか?
 

・今回の記事のポイントをまとめると…

①座標について

・平面上での、点の位置を座標で表す

(□、△)の□をx座標、△をy座標という

②比例のグラフについて

・1組のxyの値より求めた1つの点と、原点を結ぶと比例のグラフになる。

③反比例について

・反比例のグラフは双曲線になる

a>0は、右上と左下双曲線ができる

a<0は、左上と右下双曲線ができる

 今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。

 これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。

 ご意見・ご感想、質問などございましたら、下のコメント欄にてお願いします。

先生と元気いっぱいの子どもたち

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