今回から、中学1年の数学で学習する「比例・反比例」について、記事を書いていきたいと思います。
この記事では、
「関数、比例、反比例ってなに？」
「この単元、全然わかんない」
という中学生に、基本からわかりやすく丁寧に解説しています。
最後に基本問題にもチャレンジしますので、ぜひご覧下さい。
この記事では、次の4つの内容について詳しく説明しています。
この記事を読んで、関数・比例・反比例の基本をしっかり理解しましょう！
①「関数」ってなに？
「関数」って名前からして難しそうですよね。
一応、「関数」の意味を載せておくと…、
「ともなって変わる2つの値があり、一方の値が決まると、それに対応するもう一方の値が1つに決まるもの」
なのだそうです。
これだけだと正直、全然イメージがわかないですよね。
ですから、もう少しわかりやすい例えを使って説明したいと思います。
具体例① ジュースの自動販売機
まず、ジュースの自動販売機を思い浮かべてみて下さい。
ボタンがいくつか付いていて、欲しいジュースのボタンを押すと取り出し口から欲しいジュースが出てきますよね。
例えば、
・コーラのボタン → コーラ
・リンゴジュースのボタン → リンゴジュース
・お茶のボタン → お茶
このように自動販売機では、ボタンの値(コーラやお茶など)が決まると、取り出し口から出てくるジュースの値(コーラやお茶など)が1つに決まります。
コーラのボタンを押してお茶が出てきたり、リンゴジュースのボタンを押して、コーラが出てきたりはしませんよね。
「関数」とは…、
「ともなって変わる2つの値があり、一方の値が決まると、それに対応するもう一方の値が1つに決まるもの」
でしたよね。
ですから、「押すボタンの値が決まると、出てくるジュースの値が1つに決まる」自動販売機の仕組みは、関数であるということができます。
具体例② 英単語の翻訳機
まず、下の画像をご覧下さい。
画像に描かれている箱は、「犬」と書かれたカードを入れると「dog」というカードが出てきます。
同じように、「本」と書かれたカードを入れると「book」というカードが出てきます。
・犬のカード → dogのカード
・本のカード → bookのカード
このようにこの翻訳機は、日本語のカードの値(犬や本)が決まると、出てくる英単語のカードの値(dogやbook)が1つに決まります。
「猫」というカードを入れて「water」というカードが出てきたり、「水」というカードを入れて「cat」というカードが出てきたりすることはありません。
しつこいようですが「関数」とは、
「ともなって変わる2つの値があり、一方の値が決まると、それに対応するもう一方の値が1つに決まるもの」
でしたよね。
ですから、「入れるカードの値が決まると、出てくる英単語のカードの値が1つに決まる」図の翻訳機の仕組みは、関数であるということができます。
「関数」とはどんなものなのか、少しイメージがつかめたと思います。
これから先は、「関数」である「比例」や「反比例」について、詳しく説明していますので、ぜひ読み進めて下さい。
※YouTubeに「関数とはなにか」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
②「比例」ってなに？
「関数」である「比例」について説明する前に、次のようなxとyの関係について考えてみたいと思います。
上の図のように、縦x㎝、横6㎝で面積がy㎠の長方形があるとします。
この縦の長さx㎝と面積y㎠の値がそれぞれどのように変化するのか、下の表にまとめてみました。
表を見て、何か気付くことはありませんか？
xの値が”1→2″、”1→3″へと、2倍・3倍するとき、それに対応するyの値の変化に注目しましょう。
xが2倍・3倍…すると、それに対応するyの値も2倍・3倍…となっているのに気付いたと思います。
このように、xが2倍・3倍…すると、それに対応するyの値も2倍・3倍…となるとき、yはxに「比例」しているといいます。
では次に、yをxの式で表すとどうなるか見ていきましょう。
「縦の長さ(x㎝)×横の長さ(6㎝)=長方形の面積(y㎠)」でしたよね。
よって、
y = 6x
と表すことができます。
このように、yがxに比例するとき、
y = ax
と表すことができ、この式を「比例の式」といいます。
そして、xやyのようにいろいろな値をとる文字を「変数」といいます。
さらに、比例の式の文字aを「比例定数」といいます。
ちなみに「定数」とは、常に決まった変わらない値のことです。
「変数」と「定数」という新しい語句が次々に出てきたので、混乱している中学生もいると思います。
そこで変数と定数の違いを、具体的な「比例の式」を例に、簡単に説明したいと思います。
(例) y = 3x
この比例の式において、xとyはいろいろな値をとりますよね。
もし、x=1ならy=3、x=5ならy=15ですよね。
このxやyのように、いろいろな値をとる文字を「変数」といいます。
一方、この比例の式において、「比例定数」は常に3で変化しません。
このように比例の式”y=ax”のaは、常に一定の値をとります。
例えば、y=5xなら比例定数aは常に5、y=10xなら比例定数aは常に10ですよね。
以上見てきたように、常に決まった変わらない値を「定数」といい、比例の式の定数をとくに「比例定数」といいます。
比例の式だけでなく、語句の意味もしっかり覚えておきましょう！
ここでは「比例」について、さらに「変数」や「比例定数」について学習しました。
まだ理解が十分ではないようでしたら、もう１度読み直しましょう。
しっかり理解をしたうえで、次の「反比例ってなに？」へ進んで下さい。
※YouTubeに「比例とはなにか」「変数と比例定数」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
【動画】中1数学「比例・反比例 比例の式(変数と比例定数)」
③「反比例」ってなに？
「関数」である「反比例」について説明する前に、次のようなxとyの関係について考えてみたいと思います。
上の図のように、縦x㎝、横y㎝で面積が60㎠の長方形があるとします。
この縦の長さx㎝と横の長さy㎝の値がそれぞれどのように変化するのか、下の表にまとめてみました。
表を見て、何か気付きませんか？
xの値が”1→2”、”1→3”へと、2倍・3倍するとき、それに対応するyの値の変化に注目しましょう。
xが2倍・3倍…すると、それに対応するyの値が1/2倍・1/3倍…となっているのに気付かれたでしょうか。
このように、xが2倍・3倍…すると、それに対応するyの値が1/2倍・1/3倍…となるとき、yはxに「反比例」しているといいます。
では次に、yをxの式で表すとどうなるか見ていきましょう。
「縦の長さ(x㎝)×横の長さ(y㎝)=長方形の面積(60㎠)」でしたよね。
つまり、横の長さ(y㎝)は、長方形の面積(60㎠)を縦の長さ(x㎝)で割ると求めることができます。
よって、
と表すことができます。
このように、yがxに反比例するとき、
と表すことができ、この式を「反比例の式」といいます。
また、反比例の式のaを「比例定数」といいます。
ちなみに反比例の式の比例定数aは、1組のxとyをかけ合わせれば求めることができます。
例えば先ほどの反比例の式だと、x=1のときy=60で、かけ合わせると60になります。
同じように、x=2のときy=30でかけ合わせると60、x=3のときy=20でかけ合わせるとやっぱり60になります。
なぜ1組のxとyの値をかけ合わせると、反比例の式の比例定数が求まるのかについては、下の説明をご覧下さい。
このように反比例の式からも、比例定数aがxとyをかけ合わせた値であることを確かめることができました。
これは、反比例の式の場合のみに成り立つものなので、比例の式では使わないように注意しましょう！
ここでは「反比例」について学習しました。
まだ理解が十分ではないようでしたら、もう１度読み直しましょう。
そしてしっかり理解をしたうえで、次の「比例の式・反比例の式 基本問題に挑戦！」へ進んで下さい。
※YouTubeに「反比例とはなにか」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
④比例の式・反比例の式 基本問題に挑戦！
では最後に、比例の式と反比例の式の基本問題にチャレンジしましょう！
まず比例の式の基本問題を、次に反比例の基本問題を用意しています。
中学の定期テストに必ず出題される問題ですので、きちんとマスターしましょう！
比例の式の基本問題
(問) yがxに比例しており、x=3のときy=15であるとき、yをxの式で表しましょう。
まず問題文の「yがxに比例」という部分から、”y=ax”が成り立つことを読み取りましょう。
次に比例の式“y=ax”にx=3、y=15を代入すると、
15=3a
3a=15
両辺を3で割ると、
a=5
よって、”y=5x”[正解]
解き方の流れは以下の通りです。
① 比例の式”y=ax“に、問題文で与えられたxとyの値を代入する。
↓
② xとyを代入した①の式を計算して、比例定数aを求める。
↓
③ ②で求めた比例定数aを、比例の式“y=ax“に当てはめる。
反比例の基本問題
(問) yがxに反比例しており、x=5のときy=6であるとき、yをxの式で表しましょう。
まず問題文の「yがxに反比例」という部分から、”y=a/x”が成り立つことを読み取りましょう。
次に、反比例の式“y=a/x”にx=5、y=6を代入すると、以下のようになります。
解き方の流れは以下の通りです。
① 反比例の式”y=a/x“に、問題文で与えられたxとyの値を代入する。
↓
② xとyを代入した①の式を計算して、比例定数aを求める。
↓
③ ②で求めた比例定数aを、比例の式“y=a/x“に当てはめる。
もしくは、反比例の式の比例定数aは、xとyの値をかけ合わせると求めることができるので、x=5、y=6をかけ合わせて、比例定数a=30と求めてもいいでしょう。
比例の式・反比例の式の基本問題の解き方は、理解できましたか？
「まだちょっと難しいかも…」
そんな中学生も、慣れてくればだんだんとコツがつかめて、簡単に解けるようになりますので安心して下さい。
※YouTubeに「比例の式の求め方」「反比例の式の求め方」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
記事のまとめ
今回の記事のポイントをまとめると…
①関数について
「ともなって変わる2つの値があり、一方の値が決まると、それに対応するもう一方の値が1つに決まるもの」
②比例について
・ｘの値が2倍・3倍…すると、yの値も2倍・3倍…する
・比例の式”y=ax“で表すことができる
・xやyを「変数」、aを「比例定数」という
③反比例について
・ｘの値が2倍・3倍…すると、yの値は1/2倍・1/3倍…する
・反比例の式”y=a/x“で表すことができる
・反比例の比例定数aは、1組のxとyをかけ合わせて求めることができる
今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。
これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。
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