中学2年の数学で学習する「連立方程式」
前回の記事では「連立方程式・基本の文章題の解き方」について解説しました。
今回は苦手にしている中学生が非常に多い「連立方程式・速さの文章題」の解き方についての解説記事です。
この記事では↓のポイントについて解説しています。
この記事を読んで、連立方程式・速さの文章題を解くコツを、しっかり覚えましょう!
①「連立方程式・速さの文章題」を表を使って解く
↓の例題を使って、連立方程式・速さの文章題を解く手順について解説していきたいと思います。
【例題】
A地からB地まで16㎞あります。
A地から途中のP地まで時速5㎞、P地からB地まで時速3㎞の速さで歩いたら4時間かかりました。
A地からP地までの距離・P地からB地までの距離を求めましょう。
方程式の文章題を解くときに、一番はじめにすることは何か覚えていますか?
:
そう、求めたい値を文字で表すことです。
この問題において、求めたい値は
①A地~P地までの距離
②P地~B地までの距離
ですので、A~P間の距離をx㎞、P~B間の距離をy㎞と表します。
次に、↓に用意した表を埋めていくことを通して、答えを求めていきます。
この表の空欄の中で、わかっているところは、
①合計の距離
⇒問題文より16㎞
②A~P間・P~B間の速さ
⇒問題文より時速5㎞と時速3㎞
③合計の時間
⇒問題文より4時間
さらに、A~P間・P~B間の距離をx㎞とy㎞と文字で置いたので、
↑のように表の空欄を埋めることができます。
それでは残った空欄の、A~P間とP~B間の時間について考えてみましょう。
時間を求めるにはどうすればよいか覚えていますか?
:
そう、
時間=距離÷速さ
でしたね!
よって、A~P間とP~B間の時間はそれぞれ、
・A~P間の時間
・P~B間の時間
したがって、表は↓のように全て埋めることができます。
では、すべての欄をうめた表をもとに、連立方程式をつくってみましょう。
↑の表にかいてある通り、距離と時間の2つの式をつくることができます。
よって、以下のように連立方程式をつくることができます。
今回は、加減法を使って計算していきたいと思います。
②の式が分数なので、両辺に分母の5と3の最小公倍数である”15”をかけます。
3x+5y=60…②’
①と②’のxの係数を合わせるために、①の式の両辺に”3”をかけます。
3x+3y=48…①’
つづいて、①’と②’をひき算します。
−2y=-12
両辺を-2で割ると
y=6
y=6を➀に代入
x+6=16
x=16-6
x=10
よって答えは、
・A~P間の距離は10㎞
・P~B間の距離は6㎞
どうでしたか?「連立方程式・速さの文章題」を解く手順は理解できましたか?
大まかな流れとしては、
①求めたい値を文字x、yで表す
②距離・速さ・時間の表をつくり、わかるところから埋めていく
③距離・速さ・時間のいずれかで、等しい関係が成り立っている
④表から等しい関係を2つ探し出し、連立方程式をつくる
⑤つくった連立方程式を解き、答えを求める
※下のYouTubeにアップした動画でも「連立方程式・速さの文章題」について詳しく解説しておりますので、ぜひご覧下さい!
②「連立方程式・速さの文章題」の練習問題
ここでは、先ほど解説した「連立方程式・速さの文章題」を解く手順を使って、練習問題を解いていきたいと思います。
↓の問題を一緒に解いていきましょう!
【問題】
A地からB地まで14㎞あります。
A地から途中のP地まで時速2㎞、P地からB地まで時速6㎞の速さで歩いたら3時間かかりました。
A地からP地まで行くのにかかった時間・P地からB地まで行くのにかかった時間を求めましょう。
まずはじめに、問題文で尋ねられている値である
・A~P間の時間
・P~B間の時間
をそれぞれx時間とy時間とおきます。
つづいて、距離・速さ・時間の表をつくってみましょう。
この表の空欄の中で、わかっているところは、
①合計の距離
⇒問題文より14㎞
②A~P間・P~B間の速さ
⇒問題文より時速2㎞と時速6㎞
③合計の時間
⇒問題文より3時間
さらに、A~P間・P~B間の時間をx時間とy時間と文字で置いたので、
↑のように表の空欄を埋めることができます。
それでは残っている空欄、A~P間とP~B間の距離について考えましょう。
距離を求める計算のやり方を覚えていますか?
:
そう、
距離=速さ×時間
でした!
よって、A~P間とP~B間の距離はそれぞれ、
・A~P間の距離
2(㎞/時)×x(時間)=2x(㎞)
・P~B間の距離
6(㎞/時)×y(時間)=6y(㎞)
したがって、表は↓のように全て埋めることができますね。
では、すべての欄をうめた表をもとに、連立方程式をつくってみましょう。
↑の表にかいてある通り、距離と時間の2つの式をつくることができます。
①2x(㎞)+6y(㎞)=14(㎞)
②x(時間)+y(時間)=3(時間)
ここから、以下のように連立方程式をつくることができますね。
2x+6y=14…①
x+y=3…②
あとは、加減法を使って↑の連立方程式を解いてきます!
xの係数を合わせるために②を2倍すると、
・2x+2y=6…②’
次に①と②’をひき算します。
4y=8
両辺を4で割ると、
y=2
y=2を②に代入
x+2=3
x=3-2
x=1
よって答えは、
・A~P間の時間は1時間
・P~B間の時間は2時間
記事のまとめ
・今回の記事のポイントをまとめると…
◎連立方程式・速さの文章題を解く手順
➀ 求めたい値を文字(xとy)で表す
↓
② 距離・速さ・時間の表を作成して、空欄を埋めていく
↓
➂ 距離・速さ・時間の表の中で、等しい関係を2つ見つける
↓
④ ③の等しい関係をもとに、連立方程式をつくる
↓
⑤ ④の連立方程式を解いて、答えを求める
今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。
これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。
ご意見・ご感想、質問などございましたら、下のコメント欄にてお願いします。