中2数学「連立方程式」割合・食塩水の文章題をマスターしよう!

パーセントの記号がかかれている黒板の写真

 中学2年の数学で学習する「連立方程式」

 前回の記事では連立方程式・速さの文章題の解き方について解説しました。

 今回も速さの文章題と同様、苦手にしている中学生が非常に多い連立方程式・割合と食塩水の文章題」の解き方についての解説記事です。

 この記事では↓のポイントについて解説しています。

「割合」をおさらいしておこう!

「連立方程式・割合の文章題」の解き方

「連立方程式・食塩水の文章題」の解き方

 この記事を読んで、連立方程式・割合と食塩水の文章題を解くコツを、しっかりマスターしましょう!

※サムネイルはアトリエ*きなりさんによる写真ACからの写真

先生と元気いっぱいの子どもたち

①「割合」をおさらいしておこう!

 小学校に学習した「割合」について、簡単に復習しておきましょう。

割合とは、

 「もとにする量」を”1″としたときの「比べる量」の大きさ

 のことです。

 具体的には、

「割合」=「比べる量」÷「もとにする量」

 で求めることができます。

 「もとにする量」が2000円、「比べる量」が600円のとき、その割合は

 600(円)÷2000(円)=0.3

 となります。

 割合が”0.3″ということは、2000円を”1″としたとき、600円の大きさが”0.3″ということになります。 

一生懸命、勉強している男の子

  「もとにする量」に「割合」をかけると、「比べる量」を求めることができます。

 「比べる量」=「もとにする量」×「割合」

 「5000gの”0.7″は何gか?」という問題があった場合、

 5000(g)×0.7=3500(g)

 ↑のようにもとにする量」に「割合」をかけると、「比べる量」を求めることができます。

一生懸命、勉強している女の子

 さらに「百分率」についても、復習しておきましょう。

 百分率とは

 「割合」を100倍した値

 のことでしたね。

 したがって、もし3000円の20%が何円か求めたい場合

 20%を割合になおす(100で割る)

 ②3000円に割合をかける

 ↑の手順で計算しなければなりません。

 ①20%を割合になおすには100で割るといいので、“0.2”

 ②3000円に”0.2″をかけて、600円

 よって、3000円の20%は600円になります。

楽しそうに勉強して手を挙げている男の子と女の子

 「割合」のおさらいはここまでです。ちゃんと思い出すことができましたか?

 次からは、いよいよ「連立方程式・割合の文章題」に取り組んでいきますよ! 


②「連立方程式・割合の文章題」の解き方

 ↓の例題を使って、連立方程式・割合の文章題を解く手順について解説していきたいと思います。

【例題】

 ある中学生の生徒数は420人で、自転車通学している生徒は116人です。

 男子生徒の30%、女子生徒の25%が自転車通学をしています。

 この中学校の男子と女子の生徒数はそれぞれ何人ですか?

 方程式の文章題を解くときに、一番はじめにすることは何だったでしょう?

  :

 そう、求めたい値を文字で表すことでしたよね。

 この問題において、求めたい値は

 ①中学校の男子生徒の人数

 ②中学校の女子生徒の人数

 ですので、男子生徒の人数、女子生徒の人数をと表します。

自転車通学をしている中学生のイラスト

 ※画像はあんぱんさんによるイラストACからのイラスト

  次に、↓に用意した表を埋めていくことを通して、答えを求めていきます。

   連立方程式・割合の問題を解くために用いる表➀

 この表の空欄の中で、わかっているところは、

 合計の生徒数

 ⇒問題文より420人

 ②合計の自転車通学の生徒数

 ⇒問題文より116人

 

 さらに、この中学校の男子・女子生徒をxyと文字で置いたので、

   連立方程式・割合の問題を解くために用いる表②

 ↑のように表の空欄を埋めることができます。

一生懸命、勉強している男の子

 それでは残った空欄の、自転車通学をしている男子・女子生徒の人数について考えてみましょう。

 自転車通学をしている男子生徒の人数は、中学校の男子生徒の人数の30%でした。

 中学校の男子生徒の人数がなので、30%を「割合」になおした値をかけると、自転車通学をしている男子生徒の人数を表すことができます。

 30%を100で割ると「割合」になおせるので、

 30÷100=30/100

 となります。

 小数で0.3としてもよいのですが、分数で表した方が連立方程式の計算がやりやすいので、30/100としておきますね。

 よって、自転車通学をしている男子生徒の人数は、

 x(人)×30/100=30/100x(人)

 と表せます。

一生懸命、勉強している女の子

 同様に、自転車通学をしている女子生徒の人数も、中学校の女子生徒の人数y(人)に、25%を割合になおした25/100をかけて求めます。

 y(人)×25/100=25/100y(人)

 したがって、表は↓のように全て埋めることができます。

  連立方程式・割合の問題を解くために用いる表③

 では、すべての欄をうめた表をもとに、連立方程式をつくってみましょう。

   連立方程式・割合の問題を解くために用いる表④

 ↑の表にかいてある通り、生徒数と自転車通学の生徒数の2つの式をつくることができます。

 ①x(人)+y(人)=420(人) ②30/100x(人)+25/100y(人)=116(人)

 よって、以下のように連立方程式をつくることができます。

 x+y=420…① 30/100x+25/100y=116…②

楽しそうに勉強している男の子のイラスト

 今回は、加減法を使って計算していきたいと思います。

 ②の式が分数なので、両辺に”100”をかけます。

 30x+25y=11600…②’

 ①と②’のの係数を合わせるために、①の式の両辺に”30”をかけます。

 30x+30y=12600…①’

 つづいて、①’と②’をひき算します。

 30x+30y=12600と30x+25y=11600のひき算結果が、5y=1000

 5y=1000

 両辺を5で割ると

 y=200

 y=200を➀に代入

  x+200=420

       x=420-200

       x=220

 よって答えは、

 ・中学校の男子生徒数220人

 ・中学校の女子生徒数200人

頑張って楽しそうに勉強している女の子

 どうでしたか?「連立方程式・割合の文章題」を解く手順は理解できましたか?

 大まかな流れとしては、

 ①求めたい値を文字で表す

 ②をつくり、わかるところから埋めていく

 ③表の中のいずれかで、等しい関係が成り立っている

 ④表から等しい関係を2つ探し出し連立方程式をつくる

 ⑤つくった連立方程式を解き、答えを求める

勉強を頑張る子どもたちに囲まれた先生のイラスト

※下のYouTubeにアップした動画でも「連立方程式・割合の文章題」について詳しく解説しておりますので、ぜひご覧下さい!


③「連立方程式・食塩水の文章題」の解き方

 ここからは↓の例題を使って、連立方程式・食塩水の文章題を解く手順について解説していきたいと思います。

【例題】

 7%の食塩水Aと4%の食塩水Bを混ぜて、5%の食塩水Cを600g作ります。

 食塩水Aと食塩水Bをそれぞれ何gずつ混ぜればよいでしょう?

 方程式の文章題を解くときに、一番はじめにすることは…、

 そう!求めたい値を文字で表すことでしたね。

 この問題において、求めたい値は

 ①7%の食塩水Aの質量

 ②4%の食塩水Bの質量

 ですので、食塩水Ag、食塩水Bをgと表します。

食塩水をつくっているイラスト

  次に、↓に用意した表を埋めていくことを通して、答えを求めていきます。

  連立方程式・食塩水の問題を解くために用いる表➀

 この表の空欄の中で、わかっているところは、

 食塩水Cの質量

 ⇒問題文より600g

 ②食塩水A・B・Cの濃度

 ⇒問題文より7%・4%・5%

 

 さらに、食塩水A・Bの質量をxgygと文字で置いたので、

  連立方程式・食塩水の問題を解くために用いる表②

 ↑のように表の空欄を埋めることができます。

一生懸命、勉強している男の子

 それでは残った空欄の、A・B・Cの食塩の質量について考えてみましょう。

 食塩の質量は…、

 濃度を百分率(%)から割合になおす

 ②”食塩水(g)×割合“を計算する

 以上の手順で求めます。

食塩水Aの食塩

 7%→7/100 x(g)×7/100=7/100x(g)

食塩水Bの食塩

 4%→4/100 y(g)×4/100=4/100y(g)

食塩水Cの食塩

 5%→5/100 600(g)×5/100=30(g)

 したがって、表は↓のように全て埋めることができます。

  連立方程式・食塩水の問題を解くために用いる表③

一生懸命、勉強している女の子

 では、すべての欄をうめた表をもとに、連立方程式をつくってみましょう。

  連立方程式・食塩水の問題を解くために用いる表④

 ↑の表にかいてある通り、食塩水食塩の2つの式をつくることができます。

 ①x(g)+y(g)=600(g) ②7/100x(g)+4/100y(g)=30(g)

 よって、以下のように連立方程式をつくることができます。

 x+y=600…① 7/100x+4/100y=30…②

 今回は、加減法を使って計算していきたいと思います。

 ②の式が分数なので、両辺に”100”をかけます。

 7x+4y=3000…②’

 ①と②’のの係数を合わせるために、①の式の両辺に”7”をかけます。

 7x+7y=4200…①’

 つづいて、①’と②’をひき算します。

 7x+7y=4200と7x+4y=3000のひき算結果が、3y=1200

 3y=1200

 両辺を3で割ると

 y=400

 y=400を➀に代入

 x+400=600

      x=600-400

      x=200

 よって答えは、

 食塩水Aの質量は200g

 ・食塩水Bの質量は400g

楽しそうに勉強している男の子のイラスト

 どうでしたか?「連立方程式・食塩水の文章題」を解く手順は理解できましたか?

 大まかな流れとしては、

 ①求めたい値を文字で表す

 ②食塩水・濃度・食塩の表をつくり、わかるところから埋めていく

 ③食塩水・濃度・食塩のいずれかで、等しい関係が成り立っている

 ④表から等しい関係を2つ探し出し連立方程式をつくる

 ⑤つくった連立方程式を解き、答えを求める

頑張って楽しそうに勉強している女の子

※下のYouTubeにアップした動画でも「連立方程式・食塩水の文章題」について詳しく解説しておりますので、ぜひご覧下さい!


記事のまとめ

 以上、中2数学で学習する「連立方程式・割合と食塩水の文章題」の解き方について、詳しく説明してきました。

 いかがだったでしょうか?

・今回の記事のポイントをまとめると…

割合のおさらい

・「割合」=「比べる量」÷「もとにする量

・「比べる量」=「もとにする量」×「割合

・「百分率(%)」は「割合」に100をかけたもの

・「百分率(%)」を「割合」になおすには100で割る

連立方程式・割合と食塩水の文章題を解く手順

 ➀ 求めたい値を文字(xとy)で表す

  ↓

 ② を作成して、空欄を埋めていく

  ↓

 ➂表の中で、等しい関係を2つ見つける

  ↓

 ④ ③の等しい関係をもとに、連立方程式をつくる

  ↓

 ⑤ ④の連立方程式を解いて、答えを求める

 今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。

 これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。

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先生と元気いっぱいの子どもたち

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