中1数学「正の数・負の数」数全体・整数・自然数の集合

数の集合と四則計算(整数の集合)

 それでは、「数の集合と四則計算」に関する問題をやってみましょう。

 まずは、整数の集合と四則計算に関する問題です。

 次の計算結果はいつでも整数になるのか。

 なるものには〇をかき、ならないものにはならない場合の計算例を1つ書きましょう。

  ① ( 整数 )+( 整数 )  

  ② ( 整数 )-( 整数 )

  ③ ( 整数 )×( 整数 )

  ④ ( 整数 )÷( 整数 )

 まず、①から考えてみましょう。

 たし算の答えが、整数以外(つまり小数や分数)になるのは、小数や分数がたし算に使われている場合です。

 よって整数と整数をたし算すれば、答えは必ず整数になりますので、①は〇。

 ②の場合も同様に、ひき算の答えが、整数以外(つまり小数や分数)になるのは、小数や分数がひき算に使われている場合です。

 よって整数と整数をひき算すれば、答えは必ず整数になりますので、②も〇。

 ③の場合も同様に、かけ算の答えが、整数以外(つまり小数や分数)になるのは、小数や分数がひき算に使われている場合です。

 よって整数と整数をかけ算すれば、答えは必ず整数になりますので、③も〇。

 では、④の場合はどうでしょうか?

 わり算の場合は、整数だけをわり算に使っても、答えが整数以外(つまり小数や分数)になる場合があります。

 例えば、2÷4の答えは0.5(もしくは1/2)となります。

 このように、整数÷整数の答えは、小数や分数になってしまう場合があります

 □÷△というわり算において、□も△も整数であったとします。

 しかし、□が△で割り切れない場合は、答えが整数以外の数になってしまいます。

 よって④は、いつも成り立つわけではありません。

 成り立たない例として、2÷4=0.5(1/2)など多数あります。

◎この問題を通してわかったことは2つあります。

①整数どうしの四則計算において、たし算・ひき算・かけ算のときは答えも常に整数になること。

②整数どうしの四則計算において、わり算のときは答えが整数でない場合もあるということ

 つまり、たし算・ひき算・かけ算は「整数の集合」の中で計算が成り立つということがわかりました。

 それでは次に、「自然数の集合と四則計算」の問題にチャレンジしてみましょう。

机に向かって、一生懸命勉強している女の子


数の集合と四則計算(自然数の集合)

 それでは、自然数の集合と四則計算に関する問題をやってみましょう。

 次の計算結果はいつでも自然数になるのか。

なるものには〇をかき、ならないものにはならない場合の計算例を1つ書きましょう。

  ① ( 自然数 )+( 自然数 )  

  ② ( 自然数 )-( 自然数 )

  ③ ( 自然数 )×( 自然数 )

  ④ ( 自然数 )÷( 自然数 )

 まず、①から考えてみましょう。

 自然数とは、正の整数のことであり、整数と整数をたし算すれば、答えは必ず整数になりました。

 また正の数と正の数をたせば、答えは必ず正の数になります。

 よって、正の自然数である自然数と自然数をたせば、答えは必ず正の自然数つまり自然数になりますので、①は〇。

 ②の場合はどうでしょう。

 整数と整数をひき算すれば、答えは必ず整数になりました。

 しかし、正の数と正の数のひき算をして、答えが正の数ではない(つまり0や負の数)になる場合があります。

 例えば、(+5)-(+7)の場合、計算結果は-2になり正の数ではありません。

 □-△というひき算において、□も△も正の数であっても、□より△の方が大きい正の数の場合、答えが負の数になってしまいます。

 このように、正の整数である自然数から自然数をひいても答えが0や負の整数になる場合があります。

 答えが自然数にならないこともあるので、②はいつも成り立たつわけではないということになります。

 成り立たない場合の例として、(+5)-(+7)=-2など、多数あります。

 ③の場合はどうでしょうか?

 整数と整数をかけ算すれば、答えは必ず整数になりました。

 また正の数と正の数をかければ、答えは必ず正の数になります。

 よって、正の自然数である自然数と自然数をかければ、答えは必ず正の自然数つまり自然数になりますので、③は〇。

 最後の④の場合はどうでしょうか?

 「整数の集合と四則計算の問題」でみたように、わり算の場合は、整数だけをわり算に使っても、答えが整数以外になる場合がありました。

 「整数÷整数=整数」は成り立たない場合もある。

 ということは当然、正の整数である自然数においても「自然数÷自然数=自然数」が成り立たない場合があるということになります。

 よって④は、いつも成り立つわけではなく、成り立たない例として、2÷4=0.5(1/2)など多数あります。

◎この問題を通してわかったことは2つあります。

①自然数どうしの四則計算では、たし算・かけ算のときは答えも常に自然数になること。

②自然数どうしの四則計算では、ひき算・わり算のときは答えが自然数でない場合もあるということ。

 つまり、たし算・かけ算は「自然数の集合」の中で計算が成り立つということがわかりました。

   ※下のYouTubeにアップした動画でも、「数の集合」について詳しく説明しておりますので、ぜひご覧ください!

  

記事のまとめ

 以上、中1数学「正の数・負の数」で学習する「数全体の集合・整数の集合・自然数の集合」について、詳しく説明してきましたが、いかがだったでしょうか?
 
 
◎今回の記事のポイントをまとめると…
 
・数学において「集合」とは同じ仲間のグループ(集まり)のことである
 
・集合には大きさ、つまり大小関係がある
 
自然数の集合 < 整数の集合 < 数全体の集合
 
・整数の集合と四則計算において、たし算・ひき算・かけ算は整数の集合内で成り立つ
 
・自然数の集合と四則計算において、たし算・かけ算は自然数の集合内で成り立つ
 
 
 今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。

 これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。

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