中3数学「因数分解」応用問題 2つのパターンを身につけよう！

　今回は、中学3年の数学で学習する「因数分解の応用問題」について、詳しく解説したいと思います。

　「因数分解の基本」については、過去にアップした「因数分解・必ず解ける5つのポイント」で詳しく解説していますので、ぜひそちらをご覧下さい。

　この記事では、以下の3つの内容について説明しています。

　① 共通因数をとり出しカッコ内を因数分解

　② 文字に置き換える因数分解

　③ 因数分解の応用・練習問題

　この記事を読んで、因数分解の応用問題をしっかり解けるようになりましょう！

①共通因数をとり出しカッコ内を因数分解

　まず、次の例題をご覧下さい。

【例題】

　2x²+20x+42

　「x²の係数」を見ると”2″になっているので、このままだと因数分解の公式が使えないですよね。　

　そこで「xの項の係数」と「数の項」を見ると、両方とも”20″と”42″で2の倍数です。

　つまり、すべての項に2の倍数があります。

　したがって、次のように”2″を共通因数として取り出すことができます。

　　2x²+20x+42

　   = 2(x²+10x+21)

　さらにカッコ内の”x²+10x+21“に注目すると、この部分は、

　　x²+(□+△)x+□△

　   = (x+□)(x+△)

　の公式で因数分解できますよね。

　たして10になる数とかけて21になる数の組合せは、7と3なので、

　2(x²+10x+21)

   = 2(x+7)(x+3)

　これが答えになります。

◎この問題は

 ①共通因数をとり出す

 ②さらにカッコ内を因数分解する

　という2段階で解くパターンの問題です。

　共通因数をとり出しても安心せず、カッコ内の因数分解も忘れないように注意しましょうね！

※YouTubeに「共通因数をとり出しカッコ内を因数分解する」問題の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！

【動画】中3数学「因数分解・いろいろな因数分解①」

②文字に置き換える因数分解

　つづいて、次のパターンの因数分解について考えてみましょう。

【例題1】

　(x+y)²+11(x+y)+30

　この問題を解くポイントは、(x+y)を1つのかたまりとして見ることです。

　具体的には、(x+y)を1つの文字に置き換えます。

　x+y=Aとおくと、

　(x+y)²+11(x+y)+30

   = A²+11A+30

　この式は(A+□)(A+△)の形に因数分解できます。

　たして”11″、かけて”30″になる数の組合せは、“6”と”5″なので、

　A²+11A+30

  = (A+6)(A+5)

　ここでAをx+yに戻すと、

　(A+6)(A+5)

   = (x+y+6)(x+y+5)

　これがこの問題の答えになります。

　置き換えた文字は、元に戻さなければなりません。

　忘れないように気を付けましょう！

　別パターンの、文字に置き換える因数分解の問題を見てみましょう。

【例題2】

　a(x+y)+5b(x+y)

　この問題も、(x+y)を1つの文字に置き換えてみましょう。

　x+y=Aとおくと、

　a(x+y)+5b(x+y)

   = aA+5bA

　それぞれの項に”A”があるので、“A”を共通因数として取り出すと、

　aA+5bA

  = A(a+5b)

　ここでAをx+yに戻すと、

　A(a+5b)

   = (x+y)(a+5b)

　これが答えになります。

　例題1は、文字に置き換えた後、公式を使って因数分解するパターンでした。

　一方の例題2は、文字に置き換えた後、置き換えた文字を共通因数として取り出すパターンでした。

　それぞれのパターンについてしっかり覚えて、使いこなせるようになっておきましょう！

※YouTubeに「文字に置き換える因数分解」の問題の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！

【動画】中3数学「因数分解・いろいろな因数分解②」

③因数分解の応用・練習問題

　では、ここまで解説してきた因数分解の練習問題です。

　しっかり理解できているか、よく確認して下さい。

【練習問題】

(1) 3x²－6x-72

(2) 5x²－5

(3) (x+2y)²+3(x+2y)－18

(4) 2a(x－3)－b(x－3)

　それでは、練習問題の解答解説です。

【解答解説】

(1) すべての項に3の倍数があるので、3を共通因数として取り出せます。

　3x²－6x－72

   = 3(x²－2x－24)

　さらにカッコ内も(x+□)(x+△)の形に因数分解できます。

　たして−2、かけて−24になる数の組合せは、－6と+4なので、

　3(x²－2x－24)

   = 3(x－6)(x+4)【答】

(2) 各項に5がかけられているので、5を共通因数として取り出せます。

　5x²－5

   = 5(x²－1)

　カッコ内の−1を−1²と見なすと、

　□²−△²

   =(□+△)(□−△)

　の公式を使って因数分解できます。

　5(x²－1)

   = 5(x+1)(x－1)【答】

(3) x+2y=Aとおくと、

　(x+2y)²+3(x+2y)－18

   = A²+3A-18

　この式は、(A+□)(A−△)の形に因数分解できます。

　たして3、かけて−18になる数の組合せは、6と－3なので、

　A²+3A－18

   = (A+6)(A－3)

　ここでAをx+2yに戻すと、

　(A+6)(A－3)

   = (x+2y+6)(x+2y－3)【答】

(4) x−3=Aとおくと、

　2a(x－3)－b(x－3)

   = 2aA－bA

　この式において共通因数である”A”をとり出すと、

　2aA－bA

   = A(2a－b)

　ここでAをx－3に戻すと、

　A(2a－b)

   = (x－3)(2a－b)【答】

記事のまとめ

　今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。

　これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。

　ご意見・ご感想、質問などございましたら、下のコメント欄にてお願いします。

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