中学1年の数学で学習する「方程式」
前回は「方程式の利用 文章題が苦手でも理解できる！」で、方程式の文章題を解く方法について理解してもらえたと思います。
今回は「方程式の利用」の中でも、速さの文章題について説明しています。
表をつくって解いていくやり方をご紹介しますので、苦手だという中学生はぜひご覧下さい。
・この記事では、次の3つの内容について詳しく説明しています。
方程式の基本的な計算がよくわからない人は、先にコチラの「移項を使って方程式を解こう！」を読んで、よく理解しておきましょう。
この記事を読んで、方程式の利用 方程式の文章題をしっかり理解しましょうね！
①速さ・時間・距離の公式のおさらい
「方程式の利用」速さの文章題の説明の前に、小学校の算数で学習した「速さ・時間・距離」の公式を復習しておきましょう。
「速さ」とは、単位時間あたりに進む距離のことでしたね。
そして速さ・時間・距離の公式は、以下の通りでした。
・速さ = 距離 ÷ 時間
・時間 = 距離 ÷ 速さ
・距離 = 速さ × 時間
学校や塾でも教えられているかもしれませんが、この公式を使うための「は・じ・きの図」をお教えしたいと思います。
「は・じ・きの図」とは、下の図のことです。
図の中の「は」は「速さ」、「じ」は「時間」、「き」は「距離」を表しています。
もし「き(距離)」を求めたい場合は、「き」を指で隠すと「は(速さ)」と「じ(時間)」のかけ算が表されます。
同じように、「は(速さ)」を指で隠すと”「き(距離)」÷「じ(時間)」“が、「じ(時間)」を指で隠すと”「き(距離)」÷「は(速さ)」“が表されます。
「速さ・時間・距離」の公式を使いこなせないと、方程式の速さの文章題を解くのは難しいです。
しっかり理解して、使いこなせるようにしましょう！
また、以前アップした「中学入学前に算数を復習しよう！ 速さ・割合・面積のポイント」でも、詳しく説明していますのでぜひご覧下さい。
②方程式の利用 速さの文章題と解く手順
それでは、「方程式の利用」速さの文章題の問題を見ていきましょう！
「弟が分速80mの速さで駅に向かって家を出発しました。それから10分後に、兄が分速100mの速さで駅に向かって家を出発しました。兄は出発して何分後に弟に追いつくことができますか？」
この問題を使って、方程式の速さの文章題を解く手順について説明していきたいと思います。
(1) 表を作成する
方程式の速さの文章題を解くにあたり、まずはじめに下のような表を作成します。
そして、問題文から読み取れることを、表に書き込みます。
この問題では、弟と兄の進む速さがわかっているので、表にそれぞれの速さを書き込みます。
※○m/分 → ○メートル毎分(まいふん)とよみ、分速○ｍのことです。
(2) 何を文字xにするかを決める
次に何を文字xとおくかを決めます。
それから、xを使って表の空欄をうめていきます。
この問題では、兄が出発して弟に追いつくまでの時間を求めるので、この時間をx分とします。
ですので、兄が進んだ時間はx分になります。
では次に、弟が出発して兄に追いつかれるまでにかかった時間を、xを使って表してみましょう。
この図のように、弟が出発して兄が出発するまでに10分たっており、さらに兄が出発して弟に追いつくまでにx分たっています。
ですので、弟が出発して兄に追いつかれるまで(10＋x)分、つまり(x＋10)分かかっています
以上より、「時間」の空欄の部分に、弟が(x＋10)分、兄がx分と書き込みましょう。
最後に、表で空欄のままである「距離」について考えてみましょう！
距離 = 速さ × 時間
でしたよね！
ですから、弟の進んだ距離は、
80×(x＋10) = 80(x＋10) (ｍ)
また、兄の進んだ距離は、
120× x = 120 x (ｍ)
それぞれの距離を書きこんだら、表は次のようになります。
(3) 完成した表から、等しい関係を見つける！
表が完成したら、その表から等しい関係になっている所を見つけます。
方程式の速さの文章題は、速さ・時間・距離のどれかで、等しい関係が成り立つようにつくられています。
では、この問題の完成した表を見て、速さ・時間・距離のどれが等しい関係になるか、よく考えてみましょう。
わかりますか？
:
2人とも自宅から出発して、兄が弟に追いついたということは、兄が進んだ距離と弟が進んだ距離は等しくなりますよね！
弟が進んだ距離 = 兄が進んだ距離
つまり、
80(x＋10) = 120x
ということになります。
(4) 方程式をつくって解く
・それでは先ほどできた方程式を解いて、答えを求めていきます。
80(x＋10) = 120x
左辺は分配法則を用いて、カッコ内の”x“と”10″に”80″をかけて、カッコを外します。
x ×80＋10×80 = 120x
80x＋800 = 120x
80x－120x = －800
－40x = －800
両辺を－40で割る(もしくは”－1/40″をかける)と、
－40x÷(－40)=－800÷(－40)
x＝20【答え】
よって、兄は出発してから20分後に弟に追いつくことがわかりましたね。
表を使った、方程式の速さの文章題を解く手順は理解できましたか？
よく理解できなかった中学生は、解く手順をもう1度よく読んで、しっかり理解しておきましょう！
③「方程式の利用」速さの文章題 練習問題
それでは、「方程式の利用」速さの文章題の練習問題を解いてみましょう。
↓に問題を載せているので、チャレンジしましょう！
【問題】
妹が分速60mの速さで駅へ向かい、自宅から出発しました。
その20分後に、自転車に乗った姉が分速210mの速さで同じ道を追いかけました。
姉は出発してから何分後に妹に追いつきますか？
解答・解説は↓の通りです。
姉が出発してから妹に追いつくまでにかかる時間をx分とおきます。
すると、妹が出発してから追いつかれるまでにかかる時間は(20＋x)分になります。
『距離=速さ×時間』なので、
・妹の進んだ距離は“60(20＋x)m”
・姉の進んだ距離は“210xm”
となります。
以上のことを表にまとめると↓のようになります。
表より、妹の進んだ距離と姉の進んだ距離は等しいので、↓のような方程式をつくることができます。
60(x＋20) = 210x
この方程式を計算していくと、
60x＋1200 = 210x
60x－210x = －1200
－150x = －1200
x＝8【答え】
よって、姉が出発してから8分後に妹に追いつきます。
方程式の利用における速さの文章題が苦手な中学生は、実際に自分で表を作って、何回も繰り返し練習しましょう。
最初は難しく感じるかもしれませんが、だんだんとコツがつかめて、解けるようになりますよ！
※YouTubeに「方程式の利用 速さの文章題」の解説動画を投稿していますので、↓のリンクからご覧下さい！
【動画】中1数学「方程式・方程式の利用 速さ・道のり・時間の問題①」
【動画】中1数学「方程式・方程式の利用 速さ・道のり・時間の問題②」
記事のまとめ
今回の記事のポイントをまとめると…
方程式の速さの文章題を解く手順
①表を作成し、問題文からわかる空欄はうめる
↓
②何をxにするか決めて、残りの空欄をうめる
↓
➂完成した表から、等しい(イコールの)関係を見つける
↓
④方程式をたてて解き、答えを求める
今回も最後まで、たけのこ塾のブログ記事をご覧いただきまして、誠にありがとうございました。
これからも、中学生のみなさんに役立つ記事をアップしていきますので、何卒、よろしくお願いします。
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